Visualización del haz de líneas asociado a la gavilla $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2)$

Question

Tenemos que el haz de líneas asociado a la gavilla $\mathcal{O}_{\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1}(1)$ está dada por: $$ \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2\setminus\{(0:0:1)\} \rightarrow \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1, (x_0:x_1:x_2)\mapsto (x_0:x_1). $$ Esto corresponde a la proyección de $(0:0:1)$ a la línea proyectiva $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1 \simeq V(x_2)\subset \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2$ .

Me preguntaba si podemos encontrar una descripción tan explícita para el haz de líneas asociado a $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}}(2)$ . En otras palabras, me gustaría encontrar una variedad $L$ y un mapa $\pi:L\rightarrow \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$ tal que $(L,\pi)$ es un haz de líneas en $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$ y su gavilla de secciones es $\mathcal{O}_{\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1}(2)$ . ¿El mapa $\pi$ tener una interpretación geométrica como antes?

Answer 1

Por recomendación de Nicolas, abriré Huybrechts y me extenderé un poco (está en la p. 91). Utilizaré $\mathcal O$ para denotar el espacio total del haz de líneas trivial, y las variaciones habituales para denotar los haces tensoriales asociados. Tenemos la inclusión $$ \mathcal O(-1) \subset \mathcal O^{\oplus n+1}, $$

donde cada fibra del haz trivial es la $\mathbb C^{n+1}$ de la que obtenemos $\mathbb P^n$ como cociente, y la fibra de $\mathcal O(-1)$ en $[\ell] \in \mathbb P^n$ es $\ell \subset \mathbb C^{n+1}$ . Como toda inclusión de haces induce una inclusión de potencias tensoriales, tenemos $$ \mathcal O(-k) \subset \mathcal O^{\oplus k(n+1)}. $$

Ahora cualquier $F \in \mathbb C[z_1,...,z_{n+1}]_k$ induce un mapa holomorfo $\tilde{F}: O^{\oplus k(n+1)} \to \mathbb C$ que es lineal en todas las fibras de $\mathcal O^{\oplus k(n+1)} \to \mathbb P^n$ (por tanto, lo mismo que un $\mathcal O$ -mapa lineal a $\mathcal O$ ). Restringir $\tilde{F}$ a $\mathcal O(-k)$ produce así una sección holomorfa de $\mathcal O(k)$ por definición: recordemos que $\mathcal O(k) = \mathcal Hom(\mathcal O(-k),\mathcal O)$ . Hay un montón de detalles que estoy omitiendo (en particular, tienes que usar series de potencias para demostrar que las funciones holomorfas homogéneas que obtienes son de hecho algebraicas), pero espero que esto transmita algo de la geometría que estabas buscando.