Soy un ingeniero que está repasando algo de análisis funcional. Tengo curiosidad por el siguiente problema que me he planteado:
Consideremos el espacio de secuencias de valor real que finalmente se convertirá en $0$ es decir $$c_{00}(\mathbb{R})=\{(x_n)_n:\mbox{ there is a }k\in\mathbb{N} \mbox{such that }x_m=0 \mbox{ for all m>k}\}.$$
Consideremos los espacios normados $X_1=(c_{00}(\mathbb{R}),\lVert\cdot\rVert_1)$ y $X_2=(c_{00}(\mathbb{R}),\lVert\cdot\rVert_2)$ , donde $\lVert\cdot\rVert_1$ y $\lVert\cdot\rVert_2$ son los habituales $\ell_p$ - normas .
Dejemos que $B_1$ denotan la bola unitaria cerrada en $X_1$ .
¿Hay algún punto $p\in X_1$ tal que $p$ se encuentra en el límite de $B_1$ pero está más cerca de la secuencia cero $(0,0,0,\ldots)$ con respecto a $\lVert\cdot\rVert_2$ ?