1 votos

¿Existe algún punto que se encuentre en el límite de la bola unitaria en $\lVert\cdot\rVert_1$ y cerca de la secuencia cero en $\lVert\cdot\rVert_2$ ?

Soy un ingeniero que está repasando algo de análisis funcional. Tengo curiosidad por el siguiente problema que me he planteado:

Consideremos el espacio de secuencias de valor real que finalmente se convertirá en $0$ es decir $$c_{00}(\mathbb{R})=\{(x_n)_n:\mbox{ there is a }k\in\mathbb{N} \mbox{such that }x_m=0 \mbox{ for all m>k}\}.$$

Consideremos los espacios normados $X_1=(c_{00}(\mathbb{R}),\lVert\cdot\rVert_1)$ y $X_2=(c_{00}(\mathbb{R}),\lVert\cdot\rVert_2)$ , donde $\lVert\cdot\rVert_1$ y $\lVert\cdot\rVert_2$ son los habituales $\ell_p$ - normas .

Dejemos que $B_1$ denotan la bola unitaria cerrada en $X_1$ .

¿Hay algún punto $p\in X_1$ tal que $p$ se encuentra en el límite de $B_1$ pero está más cerca de la secuencia cero $(0,0,0,\ldots)$ con respecto a $\lVert\cdot\rVert_2$ ?

1voto

orangeskid Puntos 13528

Quieres secuencias muy cercanas a cero en el $l_2$ norma pero con $l_1$ norma $1$ . La libertad que $c_{00}$ ofrece es equivalente a $\mathbb{R}^n$ sin ninguna restricción en $n$ .

Considere el elemento

$$p_n=(\frac{1}{n}, \ldots, \frac{1}{n}, 0,0,\ldots)$$ con $n$ componentes iguales a $\frac{1}{n}$ y el resto cero. Tenemos $||p_n||_1=1$ y $||p_n||_2 = \frac{1}{\sqrt{n}}$ y para $n$ grande esto puede ser arbitrariamente pequeño.

Del mismo modo, puede hacer $||\cdot ||_p$ y $||\cdot ||_q$ donde $p<q$ , en lugar de $||\cdot ||_1$ y $||\cdot ||_2$ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X