¿Que espacios topológicos admiten una métrica no estándar?

Question

Mi pregunta es sobre el concepto de la no estándar de espacio métrico que pudiera surgir del uso de los no estándar de reales R* en lugar de la habitual R con valores de métrica.

Es decir, vamos a definir que un espacio topológico X es un no estándar de espacio métrico, si hay una función de distancia, no en los reales R, pero en algunos no estándar R* en el sentido de análisis no estándar. Es decir, no debe ser una función de distancia d de X² en R*, tal que d(x,y)=0 si x=y, d(x,y)=d(y,x) y d(x,z) <= d(x,y)+d(y,z). Tal no estándar métrico daría lugar a la no estándar abierto bolas, lo cual generaría una métrica como la topología en X.

Hay numerosos ejemplos de tales espacios, comenzando con R* a sí mismo. En efecto, cada espacio métrico Y tiene un no estándar analógico Y*, que es un no estándar de espacio métrico. Además, no son estándar métrico espacios que no surgen como Y* para cualquier espacio métrico Y. la Mayoría de estos ejemplos no será metrizable, ya que podemos suponer que R* tiene innumerables cofinality (cada contables conjunto es acotado), y de este modo evitará que la existencia de un contable de base local. Es decir, la secuencia anidada de bolas alrededor de un punto dado, se incluyen las bolas de infinitesimales radio, y la intersección de cualquier countably muchos todavía se apartó de 0. Por ejemplo, R* no se metrizable. El espacio de R* no está conectado, ya que es la unión de los infinitesimales barrios de cada punto. De hecho, se puede demostrar que es totalmente desconectados.

Sin embargo, a mí me parece que estos no estándar métrico espacios son útiles en muchos aspectos, como su estándar de contrapartes. Después de todo, uno puede todavía la razón acerca de abrir las bolas, con el triángulo de la desigualdad y otras cosas. Es sólo que las distancias pueden ser anormales. Lo que es más, la no estándar de reales ofrecen algunas oportunidades para nuevos topológica de las construcciones: en una no estándar de espacio métrico, uno tiene la estándar-parte de la operación, lo que sería una especie de abrir la clausura de un conjunto de---Para cualquier conjunto S, vamos Y+ ser todos los puntos infinitesimalmente cerca de un punto en Y. Esto es algo como el cierre de Y, salvo que Y+ está abierto! Pero tenemos Y subconjunto Y+ y++Y=Y+ y + respeta los sindicatos, etc.

En el clásico de la topología, tenemos varios metrization teoremas, como Urysohn del teorema que cualquier segundo-contables regulares espacio de Hausdorff es metrizable.

Pregunta. Que toplogical espacios admitir un no estándar métrica? ¿Alguno de los clásicos metrization teoremas admitir un análogo no estándar metrizability? ¿Cómo podemos saber si un determinado espacio topológico admite un no estándar métrica?

Yo también estaría interesado en aprender de otros aspectos interesantes de la no estándar metrizability, o escuchar de aplicaciones interesantes.

Tengo muchas preguntas, como cuando es un no estándar métrico realmente el espacio metrizable? ¿Hay alguna versión de R* en sí, que es metrizable? (por ejemplo, dejar caer las incontables cofinality hipótesis)

Answer 1

La uniformidad definido por un *R con valores de métrica es de un tipo especial.

Vamos $(n_i)_{i<\kappa}$ ser un cofinal secuencia de elementos positivos en *R. suponemos que $i < j$ implica que $n_i/n_j$ es infinitesimal.

Dado un *R con valores de espacio métrico $(X,d)$ podemos definir una familia de dólares(d_i)_{i<\kappa}$ de pseudometrics por $d_i(x,y) = pt(b(n_id(x,y)))$, donde $st$ es el estándar de la función de la pieza y $b(z) = z/(1+z)$ para hacer las mediciones delimitada por $1$. La topología en $X$ es definido por la familia de pseudometrics $(d_i)_{i<\kappa}$. Tenga en cuenta que estos pseudometrics tienen la siguiente propiedad especial:

(+) Si $i < j < \kappa$ y $d_j(x,y) < 1$ entonces $d_i(x,y) = 0$.

Cada espacio uniforme puede ser definido por una familia de pseudometrics, pero es bastante inusual para que la familia tenga la propiedad (+) cuando $\kappa > \omega$.

Por otro lado, dada una familia de pseudometrics $(d_i)_{i<\kappa}$ delimitada por $1$ con la propiedad (+), entonces podemos recuperar un *R con valores de métrica por definir $d(x,y) = d_i(x,y)/n_i$, donde $i$ es mínima tal que $d_i(x,y) > 0$.

Answer 2

Estas son $\omega_\mu$-metrizable espacios, donde $\omega_\mu$ es el cofinality de ${}^*\mathbb{R}$. Tomar una disminución de la secuencia de $\langle x\alpha:\alpha<\omega_\mu\rangle$ de elementos positivos que converge a $0$; porque $\omega_\mu$ es regular innumerables uno puede asegurarse de que $x_{\alpha+1}/x\alpha$ siempre es infinitesimal. Cualquier `métrica' $d:X\times X\to\mathbb{R}$ se puede convertir en un ultrametric $\rho$ con valores en $\{x\alpha:\alpha<\omega_\mu\}$; satisface la fuerte desigualdad de triángulo: $\rho(x,z)\le\max\{\rho(x,y),\rho(y,z)\}$. Estos espacios también se denomina linealmente uniformizable: los conjuntos $A_\alpha=\lbrace (x,y):\rho(x,y) < x\alpha \rbrace $ a (linealmente ordenado) base para una uniformidad que genera la misma topología $\rho$. También, debido a los innumerables cofinality, estos espacios son de $P$-espacios: $G_\delta$-conjuntos son abiertos. La única metrizable dichos espacios deben ser discretas. Aquí está uno de los primeros papeles que soy consciente de que el tratamiento de este tipo de la cosa de manera sistemática.

Answer 3

I don' t saber qué tan relevante es esto a su pregunta, pero algunos topologists han investigado ampliamente espacios topológicos con las métricas en un enrejado-ordenó grupo, es decir, un grupo con una celosía de la orden, compatible con el grupo de operación. Su R*-métrica espacios parecen ser un capítulo de esta teoría general (y de manera similar a la teoría de los espacios con las métricas, que tal vez son también de interés), así que tal vez un par de preguntas que le han tocado en su post puede ser contestada desde una perspectiva más amplia.

Aquí es un interesante papel por varios autores, uno de los cuales es Ralph Kopperman:

http://www.wku.edu/~tom.richmond/Papers/l-Grupos.pdf

PS Kopperman tiene dos desiderable características de su geolocalización del punto de vista, el primero es el trabajo en el área de nueva york (CCNY, si no me equivoco), y la segunda es ser un amigo y colaborador de Prabhud Misra (y por lo tanto, a través de el pequeño mundo de la ley, muy accesible). Si recuerdo bien, Ralph es un experto en este tipo de cosas, y así usted puede pedirle más información, si es necesario.

Answer 4

Una vez considera la siguiente situación: $[0; 1] ^ X$ es metrizable (con valores en $\mathbb{R}$), si $X$ es contable. Así que me preguntaba si $[0; 1] ^ \mathbb {R} $ es metrizable no estándar para algunos totalmente ordenaron campo $F$.

Sin embargo resulta que no admite una base local totalmente ordenada, por lo que no puede ser no estándar metrizable. Me podrian dar más detalles, si alguien está interesado en ellos.