Demostrar que $x^2 + 1$ es irreducible sobre $\Bbb Z_3$ y reducible sobre $\Bbb Z_5$

Question

Demostrar que $x^2 + 1$ es irreducible sobre $\Bbb Z_3$ y reducible sobre $\Bbb Z_5$ .

No puedo encontrar ninguna forma de expresar $x^2 + 1$ como producto de dos polinomios en cualquier anillo. Cada producto que intento termina con un número que está fuera de lugar por $1$ o $2$ .

¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Puedes comprobar las raíces. En $\mathbb{Z}_3$ tenemos $$0^2 + 1 = 1 \qquad 1^2 + 1 = 2 \qquad 2^2 + 1 = 2$$ Por lo tanto, $x^2 + 1$ es irreducible. En $\mathbb{Z}_5$ tenemos $$2^2 + 1 = 0 \qquad 3^3 + 1 = 0$$ Así, $$x^2 + 1 = (x + 2)(x + 3)$$ es reducible.

Answer 2

Aquí tienes una prueba del sencillo resultado descrito en los comentarios: $ x^2 + 1 $ es un cuadrático, por lo que es irreducible sobre un campo $ K $ si y sólo si no tiene raíces allí. Por lo tanto, $ x^2 + 1 $ es irreducible en $ \mathbf F_p $ para una prima impar $ p $ si y sólo si $ -1 $ no es un residuo cuadrático en $ \mathbf F_p $ . Dado que el grupo $ \mathbf F_p^{\times} $ es cíclico, esto sucede si y sólo si $ |\mathbf F_p^{\times}| = p-1 $ no es un múltiplo de $ 4 $ es decir, si $ p \equiv 3 \pmod{4} $ .

Answer 3

$ x^2\equiv \text{ either } 1,0 \pmod 3 $

Así que añadiendo $1$ no se puede obtener un resto cero.

Pero no es así en el caso del 5.

$ 2^2 + 1 =0$ (mod $5$ )