Tomemos el siguiente modelo pequeño para la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita e isomorfismos: El conjunto de objetos es $\mathbb{N}$ y el conjunto de morfismos $Mor(n,m)$ está vacío, si $n \neq m$ y $U(n)$ de lo contrario. Si tomamos el espacio clasificatorio de eso, obtenemos $\coprod_{n \in \mathbb{N}} BU(n)$ .
¿Qué sucede, si tomamos $Mor(n,m) = Emb(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}^m)$ donde este último denota en cambio el espacio de los mapas lineales isométricos, es decir, ¿cuál es el tipo de homotopía del espacio clasificador correspondiente?
Tenga en cuenta que $\mathbb{N}$ no contiene cero, por lo que a priori no hay ninguna razón para que sea contractible. Además, existe un mapa desde $\coprod_{n \in \mathbb{N}} BU(n)$ en el espacio descrito anteriormente, inducido por el functor canónico. Sin embargo, está conectado, ya que siempre hay una incrustación canónica $\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m$ para $m \geq n$ .
Por lo tanto, mi suposición sería que este es un modelo para $BU$ ya que de alguna manera se parece a la construcción de un telescopio. Pero no pude demostrarlo, porque no existe una extensión canónica de una incrustación $\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m$ a un unitario. Entonces, ¿tengo razón o se trata de otra descripción elaborada del punto?
