Cómo demostrar que $(E\cup d(E))^c$ ¿está abierto?

Question

Estoy tratando de entender la prueba de mi profesor de cómo $(E\cup d(E))^c$ está abierto. Esta es la prueba

Dejemos que $$x\in (E\cup d(E))^c$$ Entonces $$x\not\in (E\cup d(E))$$

lo que significa $x\not\in E $ y $x\not\in d(E)$ . Desde $x\not\in d(E)$ entonces $\exists G_{x}\in T\ni (G_{x}\cap E)-\{x\}=\phi$ . Por lo tanto, cualquier punto de $G_{x}$ no limita el punto de $E$ . $$G_x\subseteq (d(E))^c$$

El resto de la prueba la entiendo.

Mi problema es que no entiendo cómo mi profesor consiguió la afirmación "De ahí que cualquier punto de $G_{x}$ no limita el punto de $E$ " porque por lo que tengo entendido es que si hay $G_{x}\in T$ tal que $(G_{x}\cap E)-\{x\}=\phi$ entonces $x$ no es un punto límite de $E$ pero en la prueba mi profesor dijo que cada punto en $G_{x}$ (no sólo $x$ ) no es límite $E$ . ¿Alguien sabe a qué se debe esto?

Answer 1

Dejemos que $$x\in (E\cup d(E))^c$$ Entonces $$x\not\in (E\cup d(E))$$

lo que significa $x\not\in E $ y $x\not\in d(E)$ . Desde $x\not\in d(E)$ entonces $\exists G_{x}\in T$ tal que $$\Big(G_{x}\smallsetminus\{x\}\Big)\cap E=\phi.$$ Desde $x\notin E$ concluimos que $$G_x\cap E=\phi.\tag 1$$ A continuación, demostraremos que $G_x\cap d(E)=\phi.$ Supongamos que $G_x\cap d(E)\neq\phi.$ Dejemos que $g\in G_x\cap d(E)$ . Desde $G_x$ está abierto y $g\in G_x$ y $g\in d(E)$ concluimos que $$\Big(G_x\smallsetminus \{g\}\Big)\cap E\neq \phi.$$ Pero $$\phi\subset\Bigg[\Big(G_x\smallsetminus \{g\}\Big)\cap E\Bigg]\subset G_x\cap E=\phi,$$ lo que implica que $$\Big(G_x\smallsetminus \{g\}\Big)\cap E=\phi.$$ Obtenemos una contradicción. Por lo tanto, $$G_x\cap d(E)=\phi.\tag 2$$ Ahora, $(1)$ y $(2)$ ambos implica que $$G_x\subset E^c$$ y $$G_x\subset [d(E)]^c.$$ Por lo tanto, $$G_x\subset E^c\cap [d(E)]^c$$ lo que significa que $$x\in G_x\subset(E\cup d(E))^c.$$ Hecho.)

Answer 2

Considere cualquier punto en $y\in G_x$ . La definición de convergencia en un espacio topológico es la siguiente:

Definición: Una secuencia $(y_t)_{t=1}^{\infty}\subseteq X$ converge a $y$ si para cada conjunto abierto $U$ que contiene $y$ existe alguna $N_U\in \mathbb{N}$ tal que $t>N_U$ implica $y_t\in U$ .

En otras palabras, una secuencia $(y_t)_{t=1}^{\infty}$ converge a un punto $y$ si para cada vecindad abierta U de $y$ la secuencia $(y_t)_{t=1}^{\infty}$ está eventualmente contenida dentro de U.

Volviendo a tu ejemplo. Tome un poco de $y\in G_x$ . Supongamos por el contrario que hubiera alguna secuencia de puntos $(x_t)_{t=1}^\infty\subseteq E$ que convergen en $y$ . A partir de la definición de convergencia, toda vecindad abierta de $y$ debe contener eventualmente puntos de la secuencia. Sin embargo, por lo que has mostrado, $E\cap G_x = \emptyset$ . Por lo tanto, ha identificado un conjunto abierto de $y$ (a saber $G_x$ ) tal que $(x_t)_{t=1}^\infty$ nunca está contenida dentro de ella. Esto es una contradicción. Por lo tanto, $y$ (y por lo tanto cualquier punto en $G_x$ ) no es un punto límite de $E$ .