códigos de barras de cohomología absoluta persistente

Question

¿Puede alguien explicar los códigos de barras de la cohomología absoluta persistente? ¿Cómo se definen los índices en la cohomología absoluta persistente?

Por ejemplo,

corresponde a la filtración $X_1 \subset ... \subset X_6$

Recordemos que tenemos el módulo persistente: $H^*(X_1) \leftarrow ... \leftarrow H^*(X_{5}) \leftarrow H^*(X_6)$

por lo que debería haber códigos de barras de cohomología absoluta: $\{[1,\infty)_0, [2,3)_0, [4,5)_1, [6,\infty)_2\}$ donde el subíndice se refiere a la dimensión del cociclo generador.

¿Cómo explicamos los códigos de barras de este ejemplo?

Answer 1

La existencia de un código de barras de la forma $[a,b)_n$ establece que hay una $n$ -con clase de cohomología no trivial que surge en el momento $a$ que persiste hasta el momento $b$ .

Por ejemplo, el código de barras $[2,3)_0$ corresponde a la $0$ -Ciclo asociado al punto $2$ . Tenga en cuenta que $H^0(X_2)=\langle 1,2\rangle \simeq \Bbb{Z}^2$ , donde $1$ y $2$ denotan el correspondiente $0$ -ciclos. La cadena de cohecho $2$ ya no es un cocyle en $H^2(X_3)$ ya que su diferencial no es cero.