Resolución de la PIV con la transformada de Laplace mediante la función escalonada y la suma

Question

Dado el PIV $$ y'' + y = f(t) , \qquad\quad y(0) = 0 , \quad y'(0) = 0 , \tag{1}$$ donde $$ f_{k} (t) = u_{0} + 2 \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k} u_{k \pi}(t). \tag{2}$$ Queremos encontrar la solución.

Mi intento es el siguiente : $$ f(t) = u_{0}(t) -2u_{\pi}(t) + 2u_{2\pi}(t) -2u_{3\pi}(t) + \dots $$ Por lo tanto, podemos calcular la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación 1 \begin {align} \mathcal {L}[y'' +y] &= \mathcal {L}[u_{0}(t) -2u_{ \pi }(t) + 2u_{2 \pi }(t) -2u_{3 \pi }(t) + \dots ] \\ \mathcal {L}[y''] + \mathcal {L}[y] &= \mathcal {L}[u_{0}(t)] - 2 \mathcal {L}[u_{ \pi }(t)] + 2 \mathcal {L}[u_{2 \pi }(t)] -2 \mathcal {L}[u_{3 \pi }(t)] + \dots\\ Y(s)(s^{2} + 1) &= \frac {1}{s}-2 \frac {e^{- \pi s}}{s}+2 \frac {e^{-2 \pi s}}{s}-2 \frac {e^{-3 \pi s}}{s}+ \dots\\ \therefore Y(s) &= \frac {1}{s(s^{2}+1)} - 2 \frac {e^{- \pi s}}{s(s^{2}+1)}+2 \frac {e^{-2 \pi s}}{s(s^{2}+1)} -2 \frac {e^{-3 \pi s}}{s(s^{2}+1)} + \dots \\ \implies y(t) &= \mathcal {L}^{-1} \left [ \frac {1}{s(s^{2}+1)} \right ] - 2 \mathcal {L}^{-1} \left [ \frac {e^{- \pi s}}{s(s^{2}+1)} \right ] +2 \mathcal {L}^{-1} \left [ \frac {e^{-2 \pi s}}{s(s^{2}+1)} \right ] + \dots\\ & \because \frac {1}{s(s^2 +1)} = \left ( \frac {1}{s} - \frac {s}{s^2 +1} \right ), \\ &= 1- \cos (t) - 2 u_{ \pi }(t) \mathcal {L}^{-1} \left [ \frac {1}{s} - \frac {s}{s^2 +1} \right ]+2 u_{2 \pi }(t) \mathcal {L}^{-1} \left [ \frac {1}{s} - \frac {s}{s^2 +1} \right ] + \dots \\ &= 1- \cos (t) - 2 u_{ \pi }(t) (1- \cos (t- \pi )) + 2 u_{2 \pi }(t)(1- \cos (t-2 \pi )) + \dots \\ \therefore y(t) &= 1- \cos (t) + 2 \sum_ {k=1}^{n} (-1)^{k} u_{k \pi }(t)(1- \cos (t-k \pi )) . \end {align}

No estoy muy seguro de mi razonamiento. En particular, no estoy seguro de si la forma dada de la solución, que implica una suma, es adecuada. ¿Alguien puede decirme si me he equivocado en algo?

Answer 1

A mí me parece bien. Buen trabajo. Puedes evitar muchos cálculos manteniendo la notación sigma: $$Y(s)(s^{2} + 1) = \dfrac {1}{s } + 2 \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k} \dfrac {e^{-k\pi s}}{s }$$ $$Y(s)= \dfrac {1}{s(s^{2} + 1) } + 2 \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k} \dfrac {e^{-k\pi s}}{s(s^{2} + 1) }$$ $$Y(s)= \left (\dfrac 1 s -\dfrac s{s^{2} + 1 } \right) + 2 \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k}{e^{-k\pi s}} \left (\dfrac 1 s -\dfrac s{s^{2} + 1 } \right)$$ $$y(t)= 1-\cos t + 2 \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k}{u_{k\pi} }{(1-\cos(t-k\pi ))}$$