Si $$\sum_{i=1}^4b_iz_i=0,\sum_{i=1}^4b_i=0,|z_i|=r$$ ¿Cómo se puede demostrar que $$b_1b_2|z_1-z_2|^2=b_3b_4|z_3-z_4|$$
Probé con LHS: $$b_1b_2|z_1-z_2|^2=b_1b_2(z_1-z_2)(\bar z_1-\bar z_2)=b_1b_2(2r-z_1\bar z_2-z_2\bar z_1)$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongo que el $b_j$ son números reales (si no, el ejemplo de mi comentario muestra una contradicción). Wlog, podemos suponer que el $z_j$ son de módulo uno. Entonces, tomando el conjugado de la primera igualdad, obtenemos $b_1z_1^{-1}+b_2 z_2^{-1}+b_3z_3^{-1}+b_4 z_4^{-1}=0$ .
Ahora escribe $b_1z_1+b_2z_2=-(b_3z_3+b_4z_4)$ , $b_1z_1^{-1}+b_2z_2^{-1}=-(b_3z_3^{-1}+b_4z_4^{-1})$ y multiplicar estas igualdades. Obtenemos que $$b_1^2+b_2^2+2b_1b_2-2b_1b_2+b_1b_2z_1^{-1}z_2+b_1b_2z_1z_2^{-1}$$ es igual a $$b_3^2+b_4^2+2b_3b_4-2b_3b_4+b_3b_4z_3^{-1}z_4+b_3b_4z_3z_4^{-1}$$
Utilizando $$(b_1+b_2)^2=(b_3+b_4)^2$$ obtenemos $$2b_1b_2-b_1b_2z_1^{-1}z_2-b_1b_2z_1z_2^{-1}=2b_3b_4-b_3b_4z_3^{-1}z_4-b_3b_4z_3z_4^{-1}$$ por lo que $$b_1b_2|z_1-z_2|^2=b_3b_4|z_3-z_4|^2$$ y hemos terminado.
