Dejemos que $R$ sea un dominio de factorización único, y que $F$ sea el campo de fracciones de $R$ y que $f(x)\in R[x]$ . Quiero demostrar que si $f(x)$ es irreducible en $F[x]$ entonces $f(x)$ es irreducible en $R[x]$ .
Supongamos que $f$ es reducible en $R[x]$ . Entonces $f(x)=a(x)b(x)$ para $a(x),b(x)\in R[x]$ donde $\deg a(x)$ y $\deg b(x)$ son más pequeños que el $\deg f(x)$ .
Si la única forma de factorizar $f(x)$ es para que uno de $a(x)$ es una constante en $R[x]$ Entonces, ¿no es así? $f(x)$ sea irreducible en $F[x]$ desde $a(x)$ sería una unidad en $F[x]$ ? ¿Qué me falta aquí?
En el texto se demostró un corolario del Lemma de Gauss que dice
Dejemos que $R$ sea un dominio de factorización único, y que $F$ sea su campo de fracciones y sea $p(x)\in R[x]$ . Supongamos que el máximo común divisor de los coeficientes de $p(x)$ es 1. Entonces $p(x)$ es irreducible en $R[x]$ si y sólo si es irreducible en $F[x]$ .
La demostración de este corolario es fácil con la condición extra de que el máximo común divisor de los coeficientes sea 1. ¿Sigue siendo cierto si el máximo común divisor de los coeficientes es mayor que 1?
