Demuestre que la ecuación$\left(2x^2+1\right)\left(2y^2+1\right)=4z^2+1$ no tiene solución en los enteros positivos

Question

Demuestra la ecuación PS no tiene solución en los enteros positivos

Mi trabajo:

1) tengo el problema habitual

PS

en los enteros positivos. Inicialmente uso el caso$$\left(2x^2+1\right)\left(2y^2+1\right)=4z^2+1$

2) Deje$$\left(nx^2+1\right)\left(my^2+1\right)=(m+n)z^2+1$. Es este caso. Necesito demostrar que$\gcd(m,n)=1$ no es un cuadrado perfecto para ningún$m=n=2$

Answer 1

Como dice en los comentarios, esto seresponde en Math Overflow. De hecho, la única solución es la trivial: $(0,0,0)$ . Esto se puede encontrar en el Teorema 6 de Kashihara: Solución completa explícita en números enteros de una clase de ecuaciones.