Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos variedades propias de dimensión $n$ sobre un campo $k$ . Estoy buscando condiciones "razonables", bajo las cuales, existe un morfismo propio y dominante $f:V\to \mathbb{P}^1_k$ con $V$ una variedad de dimensiones $n+1$ , de tal manera que $X=f^{-1}(0)$ y $Y=f^{-1}(\infty)$ .
Respuesta
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Asumiré que por "variedad" quieres decir (al menos) "irreducible", de lo contrario como Daniel Litt señala que la cuestión es trivial.
Además, supongamos que $V$ es proyectiva (y, por tanto, necesariamente $X$ y $Y$ ), como ulrich señala, ya será bastante difícil.
Considere una polarización común de $X$ y $Y$ dado por un $f$ -Muestra de un paquete de líneas. La primera condición necesaria es que los correspondientes polinomios de Hilbert sobre $X$ y $Y$ son iguales. Esto se deduce de $f$ siendo plana.
Por lo tanto, si $X$ y $Y$ tienen el mismo polinomio de Hilbert, entonces son fibras de alguna familia enorme, que sin embargo puede estar desconectada y $X$ y $Y$ tendrían que estar en el mismo componente irreducible para satisfacer su condición deseada. Esto es bastante difícil de forzar aparte de tener una familia sobre una base irreducible que admita tanto $X$ y $Y$ como fibras.
Entonces, si $X$ y $Y$ están en la misma componente irreducible del esquema de Hilbert, entonces es otra cuestión bastante difícil si sus puntos de Hilbert pueden estar conectados por curvas racionales. Resulta que ésta es una condición poco frecuente. Como ulrich menciona, por ejemplo para una curva general de género suficientemente alto, que no existe una deformación no trivial sobre $\mathbb P^1$ . En otras palabras, ya para $n=1$ y para la mayoría $X$ independientemente de la elección de $Y$ no existe tal deformación.
Esto sugiere que tener una $X$ y $Y$ es muy especial.
Por otro lado, y quizás es más lo que te gustaría ver, para la mayoría de las curvas (lisas proyectivas) de género pequeño esto es realmente factible.
Las palabras clave que debes buscar son "conectividad racional" de los espacios de moduli o de los esquemas de Hilbert.
Las afirmaciones anteriores para las curvas se derivan del hecho de que los espacios de módulos (pilas, en realidad) para géneros pequeños son (uni)racionales y, por lo tanto, dos puntos genéricos cualesquiera pueden estar conectados por una curva racional, mientras que los espacios de módulos de las curvas de géneros altos tienen dimensiones de Kodaira no negativas y, por lo tanto, no son uni-racionales (por lo que no hay curvas racionales a través de sus puntos generales).
Como ulrich menciona la historia comienza con Harris-Mumford y Eisenbud-Harris. Para los conocimientos actuales hay que mirar el trabajo de Gavril Farkas. Puede empezar aquí http://arxiv.org/abs/0810.0702 por ejemplo, y basta con mirar sus artículos en arXiv.
Otro documento que hay que leer es la encuesta de Verra: http://arxiv.org/abs/1112.6095 .
Y, por supuesto, esto sólo cubre $n=1$ en su pregunta. Creo que se sabe muy poco de las dimensiones superiores, aparte de que se trata de una propiedad muy especial, incluso sólo para $X$ para estar en una familia no localmente trivial sobre $\mathbb P^1$ .
