Dudas sobre el teorema del complejo conjugado

Question

Este teorema afirma que un polinomio $p(x)$ con coeficientes reales tiene una raíz en complejo y la otra es su conjugado complejo. Por lo tanto, cualquier número real que sea raíz de $p(x)$ puede escribirse como $a+i0$ por lo tanto $a-i0$ también es una raíz por lo que significa que tiene la misma raíz dos veces...

Pero no es cierto en general... Así que creo que he hecho un malentendido. Por favor, ayúdenme a averiguarlo.

Answer 1

Para una prueba: Supongamos que $z \in \mathbb{C}$ es un cero del polinomio $$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_1x +a_0$$ donde todos $a_i \in \mathbb{R}$ . Desde $z$ es un cero de $f(x)$ tenemos que $$0 = f(z)$$ . Consideremos el conjugado de $z$ , denotado por $\overline{z}$ entonces tenemos que $$f(\overline{z}) = a_n\overline{z}^n + a_{n-1}\overline{z}^{n-1}+ \ldots + a_1\overline{z} +a_0.$$ Obsérvese que tenemos las siguientes propiedades: $$\overline{z}^n = \overline{z} \cdot \overline{z} \cdot \ldots \cdot \overline{z} = \overline{z \cdot z \cdot \ldots \cdot z} = \overline{z^n}$$ y para $\lambda \in \mathbb{R}$ $$\lambda \overline{z} = \overline{\lambda \cdot z}$$ desde $\overline{\lambda} = \lambda$ . Además $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ . Esto demuestra que $$a_n\overline{z}^n + a_{n-1}\overline{z}^{n-1}+ \ldots + a_1\overline{z} +a_0 = \overline{a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+ \ldots + a_1z +a_0} = \overline{0} = 0.$$

Nótese que esta prueba realmente necesita que el $a_i \in \mathbb{R}$ ya que sólo pudimos dar los pasos anteriores porque $\overline{a_i} = a_i$ para $a_i \in \mathbb{R}$ .

Como contraejemplo para un polinomio que tiene coeficientes complejos: considere $$p(z) = (z - i)(z + 3i) = z^2 + 2iz +3,$$ que tiene coeficientes complejos y aunque $i$ es un cero, $-i$ no lo es.