Si $1,a_1,a_2,...,a_{n-1}$ son los $n$ raíces de $1$ entonces $(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_{n-1}) \space ?$

Question

Si $1,a_1,a_2,...,a_{n-1}$ son los $n$ raíces de la unidad, entonces cómo podemos encontrar el valor de $$(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_{n-1}) \space ?$$

Mi enfoque:
Si $n=2$ entonces $1,-1$ son las raíces de la unidad
$\therefore (1-a_1)=(1-(-1))=2$
para $n=3 \space :$ $1,\omega,\omega^2$ son las raíces de la unidad
$\therefore (1-a_1)(1-a_2)=(1-\omega)(1-\omega^2)$
$\quad \quad \quad =1-\omega^2 -\omega +1=3$
por lo que concluimos para $n$ el valor $(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_{n-1}) \space = n$

pero quiero un proceso directo para evaluar $(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_{n-1}) $ (sin generalizar), ¿cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Consideremos el polinomio $x^n-1=(x-1)(x-a_1)...(x-a_{n-1})$ . Dividir por $x-1$  para obtener el polinomio $x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1$ . Evaluar en $x=1$ para obtener la respuesta $n$ .