Matrices unitarias y teorema espectral

Question

Debido al teorema espectral y a la descomposición de Shur, si $A$ es una matriz unitaria, entonces

$$A = QDQ^{-1} \quad (1)$$

donde $D$ es diagonal y $Q$ unitario.

Ahora, dejemos que $A$ pertenece al centro de SU(n) y $P$ a SU(n), por lo que

$$A = PAP^{-1} \quad (2)$$

Por lo tanto, debido a la Ec. (1) y a la Ec. (2) tenemos que

$$PAP^{-1} = QDQ^{-1} \quad (3)$$

Mi pregunta surge de algunas lecturas que aseguran que $A \equiv D$ pero no veo cómo probarlo. ¿Alguna idea? Tal vez la Ec. (1) es una descomposición única?

Gracias de antemano ;)

Answer 1

Para demostrar

$A \equiv D, \tag 1$

usamos lo que tenemos, a saber

$A = QDQ^{-1}, \tag 2$

mediante el lanzamiento de la forma

$D = Q^{-1}AQ; \tag 3$

desde $A$ está en el centro, podemos llevar esta ecuación un poco más allá:

$D = Q^{-1}AQ = AQ^{-1}Q = AI = A, \tag 4$

según sea necesario.

Creo que el hecho de que $A$ es fundamental en $SU(n)$ implica que $A = cI$ , $c \in \Bbb C$ Lo cual, por supuesto, lo resolvería todo; pero no puedo recordarlo con seguridad. Lo que sí sé con certeza es que $A$ central realiza transformaciones de similitud en $A$ , $A \to B^{-1}AB = AB^{-1}B = AI = A$ bastante simple, ya que $A$ está fijada por cualquiera de ellas.