¿Cuáles son las aplicaciones prácticas de los productos infinitos?

Question

Mi libro de análisis incluye una sección sobre productos infinitos. Así que empecé a preguntarme cuáles son las aplicaciones prácticas de los productos infinitos en la ciencia y la ingeniería, pero aún no he podido encontrar nada. Además, ¿cuáles son las aplicaciones comunes en las matemáticas puras?

Gracias por la información.

Answer 1

Un ejemplo: Las series infinitas aparecen en casi todas las ramas de las matemáticas aplicadas, y es necesario tener pruebas de convergencia de las mismas.

Teorema 1. Si $a_n\geq 0$ para $n\in N,$ entonces $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty \iff \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n)<\infty.$$

Ejemplo: Sea $a_n=1/n.$ Entonces $\prod_{n=1}^m(1+a_n)=m+1,$ que $\to \infty$ como $m\to \infty.$ Por lo tanto, $\sum_{n=1}^{\infty}(1/n)=\infty.$

Teorema 2. Si $0\leq a_n<1$ para $n\in N$ entonces $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty \iff \prod_{n=1}^{\infty}(1-a_n)>0.$$

Euler utilizó esto para una nueva forma de demostrar que hay infinitos primos, junto con un nuevo resultado: Sea $p_n$ sea el $n$ -año primo . Entonces $\sum_{n=1}^{\infty}(1/p_n)=\infty.$

Answer 2

Un ejemplo en la economía de los recursos naturales. Supongamos que existen reservas limitadas de un recurso no renovable, por ejemplo, un mineral, y queremos utilizar la optimización dinámica con un horizonte infinito para identificar la trayectoria temporal óptima para la extracción y el uso del recurso. ("Óptimo" podría definirse, por ejemplo, en términos de maximizar el valor actual descontado del consumo de los bienes producidos utilizando el recurso junto con otros recursos como el capital y el trabajo).

Si trabajamos en períodos discretos, por ejemplo, años, puede ser conveniente definir $S_t$ como el stock del recurso que queda al inicio del periodo $t$ y $r_t$ como la proporción de $S_t$ extraído y utilizado en el período $t$ . Así:

$$S_{t+1}=S_t(1-r_t)$$

La maximización requerirá normalmente:

$$\lim_{t\to\infty}S_t=0$$

De ahí que queramos imponer la siguiente condición en términos de $r_t$ :

$$\prod_{t=1}^{\infty}(1-r_t)=0$$