La convergencia uniforme en conjuntos compactos implica el intercambio de suma e integración

Question

Supongamos que existe un conjunto no limitado $S$ en la llanura compleja y una secuencia de funciones analíticas $f_n$ definido sobre $S$ .

La serie $$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} f_n(s)$$ converge uniformemente en subconjuntos compactos $K\subset S$ . Sé que por el Teorema de Weierstrass que $f(s)$ es analítico en $S$ y que la serie se puede diferenciar término a término: $$f'(s)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(s)$$ en $S$ . ¿Implica esto que $$\int_{S}f(s)ds=\sum_{n=1}^{\infty}\int_Sf_n(s)ds$$ siempre que exista cada integral? Si la serie converge uniformemente en $S$ entonces se puede hacer el intercambio, pero si sólo tengo convergencia uniforme en subconjuntos compactos, ¿puedo seguir intercambiando la suma con la integral? Por ejemplo, si consideramos $f_n(s)=e^{-\pi n^2s}$ entonces es fácil ver que $$\sum _{n=1}^\infty e^{-\pi n^2 s}$$ converge uniformemente en subconjuntos compactos del eje real positivo $S=\mathbb{R}^+$ . Sin embargo, no converge uniformemente en todo el eje real positivo. En este caso es el intercambio $$\int_0^\infty \sum _{n=1}^\infty e^{-\pi n^2 s}ds=\sum _{n=1}^\infty \int_0^\infty e^{-\pi n^2 s}$$ ¿sigue siendo válida por la convergencia uniforme en subconjuntos compactos? (Este intercambio puede ser justificado por el Teorema de Convergencia Dominante)

Answer 1

Supongamos que $S=[0,1).$ Considere la serie $z + (2z^2-z)+ (3z^2-2z^2)+ \cdots.$ Entonces la serie converge a $0$ uniformemente en subconjuntos compactos de $S.$ Pero la integral del $n$ La suma parcial sobre $S$ es $\int_0^1nx^n\,dx = n/(n+1) \to 1.$