Una pregunta sobre los ceros comunes de un polinomio homogéneo y sus derivadas parciales

Question

Dejemos que $K$ sea un campo, $\overline{K}$ un cierre algebraico de $K$ y $F \in K[X,Y,Z]$ un polinomio homogéneo de grado $d$ . Sea $F'_X, F'_Y, F'_Z$ denotan las derivadas parciales de $F$ y que $I=\langle F, F'_X, F'_Y, F'_Z \rangle$ .

Supongamos que existe un exponente $e$ tal que $X^e, Y^e, Z^e \in I$ . ¿Cuáles son los ceros comunes de $F$ y sus derivadas parciales en $\overline{K}\times \overline{K} \times \overline{K}$ ? Les agradezco de antemano cualquier sugerencia.

Answer 1

Para un ideal $J \subseteq K[X,Y,Z]$ , dejemos que $Z(J)$ denotan el conjunto cero de $J$ es decir $Z(J):=\{ x \in \overline{K}^3: f(x)=0 \forall f \in J\}$ . Entonces, para los ideales $J_1, J_2$ tal que $J_1 \subseteq J_2$ tenemos claramente $Z(J_2)\subseteq Z(J_1)$ . En nuestro caso, observe que $J:=\langle X^e, Y^e, Z^e\rangle$ satisface $Z(J)=\{(0,0,0)\}$ y $J\subseteq I$ , por lo que obtenemos $Z(I) \subseteq \{(0,0,0)\}$ .

Como señaló KReiser, ambas posibilidades $Z(I) = \emptyset$ y $Z(I)=\{(0,0,0)\}$ sí ocurren.