Condición de paracompactación debilitada

Question

1. Dejemos que $X$ sea un espacio topológico tal que toda cubierta abierta tenga un refinamiento finito. Entonces es $X$ compacto, ¿o hay algún contraejemplo?

2. Dejemos que $X$ sea un espacio topológico tal que toda cubierta abierta tenga una subcubierta localmente finita. Entonces es $X$ compacto, ¿o hay algún contraejemplo?

Answer 1

Cito el artículo de Wikipedia sobre espacios paracompactos :

Nótese la similitud entre las definiciones de compacto y paracompacto: para el paracompacto, sustituimos "subcubierta" por "refinamiento abierto" y "finito" por "localmente finito". Ambos cambios son significativos: si tomamos la definición anterior de paracompacto y volvemos a cambiar "refinamiento abierto" por "subcubierta", o "localmente finito" por "finito", terminamos con los espacios compactos en ambos casos.

En la página aparece la lista de Willard Topología general en sus referencias, por lo que parece un buen lugar para buscar una prueba - o un ejercicio.

Answer 2

Para 1., claramente sí: si una cubierta tiene un refinamiento finito, entonces los conjuntos de los que es un refinamiento también cubren $X$ y forman una subcubierta finita. Para la 2., ver el comentario de Nuno en la otra respuesta.