Encontrar todos los enteros positivos $k, m, n$ tal que $T := \frac{2kmn(m^2 - n^2)}{m^2 +n^2} \in \mathbb{Z} .$

Question

Encontrar todos los enteros positivos $k, m, n$ tal que $$T := \frac{2kmn(m^2 - n^2)}{m^2 +n^2} \in \mathbb{Z} .$$

Por ejemplo, si $(m^2 +n^2) \mid k$ entonces $T \in \mathbb{Z}$ pero no encuentro una fórmula de $k, m, n$ . La cuestión es que "¿existe una forma generadora de $k, m, n$ ?"

Muchas gracias por sus ideas.

Answer 1

Dejemos que $\gcd(m,n)=d$ y poner $m=dx,\ n=dy$ para que $x,y$ son ahora coprimos. Supondremos que $x>y.$ ]

Sustitución de $m,n$ por $dx,dy$ en $T$ da $$T=\frac{d^2k\cdot 2xy\cdot(x^2-y^2)}{x^2+y^2}.\tag{1}$$ Ahora si $x,y$ son de paridad opuesta, el triple $(2xy, x^2-y^2,x^2+y^2)$ es un triple pitagórico primitivo. Esto significa que el denominador de (1) es coprimo con los factores segundo y tercero del numerador de (1), y por tanto $T$ es un número entero si $x^2+y^2$ divide $d^2k.$

El caso restante es cuando $x,y$ son cada uno impar. Aquí mirando el mod 4 se ve que $(x^2+y^2)/2$ es impar, y se demuestra fácilmente que si $T$ se escribe ahora como $$T=\frac{d^2k\cdot xy\cdot(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)/2}.\tag{2}$$ entonces el denominador es coprimo con el segundo y tercer factor del numerador, por lo que $T$ es un número entero en este caso si $(x^2+y^2)/2$ divide $d^2k.$