Enunciado del teorema de representación de DeFinetti

Question

Estoy utilizando un libro de texto estándar de estadística [1], y estoy confundido con el enunciado del teorema de representación de DeFinetti.

Teorema 1.49 (Teorema de la representación de DeFinetti). Sea $(S,A,\mu)$ sea un espacio de probabilidad, y sea $(\mathcal{X},\mathcal{B})$ sea un espacio de Borel. Para cada $n$ , dejemos que $X_n: S\to \mathcal{X}$ ser medible. La secuencia $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ es intercambiable si y sólo si existe una medida de probabilidad aleatoria $\mathbb{P}$ en $(\mathcal{X},\mathcal{B})$ tal que, condicionado a $\mathbb{P} = P$ El $X_n$ son IID con distribución $P$ . Además, si la secuencia es intercambiable, entonces la distribución de $\mathbb{P}$ es único, y $\mathbb{P}_n(B)$ converge a $\mathbb{P}(B)$ casi seguramente para cada $B \in \mathcal{B}$ .

Más concretamente, estoy confundido con lo que es una "medida de probabilidad aleatoria $\mathbb{P}$ en $(\mathcal{X},\mathcal{B})$ " significa. ¿Significa una variable aleatoria que toma valor en el espacio $M_{1}(\mathcal{X},\mathcal{B})$ de medida de probabilidad sobre $(\mathcal{X},\mathcal{B})$ ? Esto parece tener más sentido porque luego dice

... el $X_n$ son IID con distribución P.

Aquí cada $X_{n}$ es una función medible de $S$ a $\mathcal{X}$ y, por tanto, su distribución es la medida pushforward $X_{n,\star}(\mu)$ que es un elemento de $M_{1}(\mathcal{X},\mathcal{B})$ .

Pero si ese es el caso, entonces ¿cuál es el dominio de $\mathbb{P}$ ? Supongo que el dominio es $S$ .. no lo dice claramente. Si el dominio es efectivamente $S$ , puede $\mathbb{P}$ se puede escribir en general en términos de la $X_{n}$ ?

Referencia

• [1] Teoría de la Estadística-[Mark Schervish]

Answer 1

$\mathbb P$ es un mapa de $S \times \mathcal B$ a $[0,1]$ tal que

a) $E \mapsto \mathbb P (\omega,E)$ es una medida de probabilidad sobre $\mathcal B$ para cada $\omega \in S$

b) $\omega \mapsto \mathbb P (\omega,E)$ es una función medible para cada $E \in \mathcal B$

Condicionado a $\mathbb P=P$ significa condicionado al evento $\{\omega \in S: \mathbb P (\omega,E) =P(E) \forall E \in \mathcal B\}$ .

Answer 2

Bajo las hipótesis del teorema, la secuencia $(X_n)_{n=1}^\infty$ converge casi con seguridad. La medida de probabilidad $\mathbb P$ es la distribución de probabilidad marginal de la variable aleatoria $\lim\limits_{n\to\infty} \overline X_n= \lim\limits_{n\to\infty}(X_1+\cdots+X_n)/n.$ La distribución condicional de toda la secuencia $(X_n)_{n=1}^\infty$ dado el valor de $\mathbb P$ es que son i.i.d. y la distribución condicional de cada $X_i$ dado ese valor de $\mathbb P$ es ese valor de $\mathbb P.$

Tal vez un ejemplo aclare las cosas. Supongamos que $(X_1,X_2,X_3,\ldots)$ es aleatorio y toma valores en $\{0,1\}^n.$ Si la distribución de toda esta secuencia es intercambiable, entonces existe alguna variable aleatoria $P$ tomando valores en $[0,1]$ tal que la distribución condicional de $X_1,X_2,X_3,\ldots$ dado $P=\text{(some particular number $ p \in [0,1] $)}$ se expresa diciendo que son i.i.d. y que cada uno es igual a $1$ o $0$ con las respectivas probabilidades $p$ y $1-p.$ En este caso, la medida de probabilidad aleatoria es una medida sobre el álgebra sigma de todos los (cuatro) subconjuntos de $\{0,1\}.$ Y $\Pr\left( \lim\limits_{n\to\infty} X_n =P \right) = 1.$

Tenga en cuenta que esto significa $X_1,X_2,X_3,\ldots$ están positivamente correlacionados a menos que la distribución de $P$ es degenerada, una distribución delta, en cuyo caso la correlación es cero.

(Las secuencias intercambiables con correlación negativa entre los términos de la secuencia no pueden extenderse a secuencias intercambiables infinitamente largas).