¿Convergen las sumas superiores e inferiores de Darboux a medida que la norma de partición se acerca a 0?

Question

Actualmente estoy estudiando por mi cuenta el análisis real utilizando el libro de Rudin. Rudin define la integrabilidad de Riemann como sigue:

Dejemos que $f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ y que $P$ sea una partición de $[a,b]$ . Entonces $f$ es integrable de Riemann en $[a,b]$ si $\inf U(P,f) = \sup L(P,f)$ , donde $U(P,f)$ y $L(P,f)$ denotan las sumas superiores e inferiores de Darboux de $f$ (con respecto a la partición P), respectivamente, y el $\sup$ y $\inf$ se toman sobre todas las particiones $P$ .

La siguiente es una afirmación que supuse que era cierta cuando estudié cálculo, pero ahora no estoy tan seguro:

Dejemos que $f$ sea integrable de Riemann en $[a,b]$ . Dada una partición $P$ de $[a,b]$ , dejemos que $\left\| P \right\|$ denotan la norma de $P$ (es decir, la longitud del segmento más largo en $P$ ). ¿Es entonces cierto que como $\left\| P \right\| \rightarrow 0$ , $U(P,f)-L(P,f)\rightarrow 0$ ? Es decir, ¿es cierto que para cualquier $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $\left\| P \right\|<\delta \Rightarrow U(P,f)-L(P,f)<\epsilon$ ?

Es fácil demostrar que este resultado se mantiene cuando $f$ es continua en $[a,b]$ pero no estoy seguro de que sea válido para todas las funciones integrables de Riemann.

Answer 1

La integral de Riemann definida como $I = \sup_P L(P,f) = \inf_P U(P,f)$ es equivalente a la integral definida como $I = \lim_{\|P\| \to 0} S(P,f)$ donde $S(P,f)$ es una suma de la forma $\sum_{j=1}^n f(c_j)(x_j - x_{j-1})$ . Cuando $f$ es integrable de Riemann, ese límite es único independientemente de cómo las etiquetas $c_j \in [x_{j-1},x_j]$ se eligen o cómo se distribuyen los puntos de partición como $\|P\| = \max_{1 \leqslant j \leqslant n} (x_j - x_{j-1}) \to 0$ . Esto se demuestra aquí .

En consecuencia, también tenemos $U(P,f)-L(P,f) \to 0$ como $\|P\| \to 0$ . Esto se debe a que para cualquier $\epsilon > 0$ y cualquier intervalo de partición $I_j =[x_{j-1},x_j]$ podemos seleccionar etiquetas tales que

$$\sup_{I_j} f(x) - \epsilon/(2(b-a)) < f(\xi_j) \leqslant \sup_{I_j} f(x), \\\inf_{I_j} f(x) \leqslant f(\eta_j) < \inf_{I_j} f(x) +\epsilon/(2(b-a)), $$

y, formando sumas de Darboux y Riemann,

$$U(P,f) - L(P,f) < S(P,f,\{\xi\})-S(P,f,\{\eta\}) + \epsilon$$

La RHS converge a $\epsilon$ como norma de partición $\|P\| \to 0$ ya que ambas sumas de Riemann se aproximan a la integral. Por lo tanto,

$$0 \leqslant \lim_{\|P\| \to 0}[U(P,f) - L(P,f)] \leqslant \epsilon.$$

Desde $\epsilon$ es un número real positivo arbitrario, el resultado es el siguiente.