Eliminar el operador Kronecker en $\mathrm{trace((\Sigma^{-1}\otimes S^{-1})A})$

Question

No estoy seguro de poder eliminar el operador Kronecker en la siguiente fórmula $$\mathrm{trace((\Sigma^{-1}\otimes S^{-1})A}),$$ donde $\Sigma,S$ son semidefinidos positivos y simétricos, y $A$ es simétrico. Se agradecería cualquier ayuda.

Actualización:

---

@greg afirmó en la respuesta siguiente que podemos " representan exactamente $A$ como una suma finita de productos de Kronecker ." Me pregunto cómo obtener esta representación exacta. Para ser más específico, tengo $$A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & R \end{array}\right), $$ donde $R$ es una matriz simétrica y semidefinida positiva, y su dimensión es $k \times k$ , $k=1,\dots,\mathrm{ncol}(A)$ . El objetivo final es calcular la derivada $$\frac{\partial \mathrm{trace((\Sigma^{-1}\otimes S^{-1})A})}{\partial \Sigma}.$$ Esto está relacionado con la pregunta: Derivada que implica la traza de un producto de Kronecker . He leído Van Loan y Pitsianis (1993) pero no se ha encontrado una solución.

Answer 1

Se puede escribir la función en términos del producto de Frobenius como $$ f = A^T:(\Sigma^{-1}\otimes S^{-1}) $$ Si tuvieras una factorización del producto de Kronecker para $A=B\otimes C$ , donde $B,C$ son las mismas dimensiones que $\Sigma,S$ respectivamente. Entonces se podría reescribir la función para eliminar el producto de Kronecker de la siguiente manera $$ \eqalign { f &= (B^T\otimes C^T):(\Sigma^{-1}\otimes S^{-1}) \cr &= (B^T:\Sigma^{-1})\,(C^T:S^{-1}) \cr &= {\rm tr}(B\Sigma^{-1})\,\,{\rm tr}(CS^{-1}) \cr }$$ Si no tiene una factorización exacta de Kronecker, una búsqueda de "aproximación del producto de Kronecker" le mostrará muchos programas.

Además, se puede representar exactamente $A$ como una suma finita de productos de Kronecker $$\eqalign{ A &= \sum^r_{k=1} B_k\otimes C_k \cr f &= \sum^r_{k=1} {\rm tr}(B_k\Sigma^{-1})\,\,{\rm tr}(C_kS^{-1}) \cr }$$ Pero no estoy seguro de que merezca la pena todo este esfuerzo simplemente para evitar un único producto de Kronecker.