¿Podemos encontrar dos cuadrados latinos diagonales mutuamente ortogonales de órdenes $4$ y $8$ ? Un cuadrado latino diagonal es un cuadrado latino de orden $n$ donde los símbolos $1$ a través de $n$ fil tanto en la diagonal delantera como en la trasera? Sería estupendo si pudieras mostrarme el MOLS real, así como la metodología.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Darren J M England
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Esto también puede ser de interés. A partir de los dos cuadrados de 4x4 dados en una respuesta anterior, pueden crecer dos cuadrados de 8x8.
Si transponemos los símbolos así;
Los dos cuadrados se diferencian únicamente por los símbolos elegidos que contienen las celdas.
a) Coloca los dos cuadrados latinos uno al lado del otro para obtener un rectángulo.
b) Luego intercambia las filas 2 y 4 con las filas transpuestas 2 y 4 para dar;
c) A continuación, toma el rectángulo resultante de b) y cópialo hacia atrás por debajo del rectángulo resultante de b).
Entonces, tenemos;
El mismo proceso puede realizarse una y otra vez a partir de los cuadrados resultantes, intercambiando cada una de las filas pares.
user8269
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Per Hornshøj-Schierbeck
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Dejemos que $F$ sea un campo de 8 elementos (esto también funcionaría para 4). Es un hecho estándar que para los elementos no nulos elementos $\alpha\in F$ la fórmula $L_\alpha(x,y)=x+\alpha y$ produce un cuadrado latino. Además, $L_\alpha$ y $L_{\alpha'}$ son MOLS, si $\alpha\neq\alpha'$ . La diagonal está formada por los elementos $L(x,x)$ pero para obtener una diagonal posterior específica tenemos que utilizar un ordenamiento específico. Lo siguiente funcionará. Comienza a colocar los elementos de $F$ en una lista ordenada linealmente. Añadimos elementos a ambos extremos de la lista de la siguiente manera. Cuando ponemos un nuevo elemento $x$ para que se convierta en la primera entrada, seguimos inmediatamente poniendo $1+x=1-x$ al final de la lista. A continuación, utilizamos este ordenamiento tanto para las filas como para las columnas. Si lo hacemos así, la otra diagonal está formada por elementos $L(x,1+x)$ .
Por tanto, la diagonal principal de $L_\alpha$ tiene los elementos $L_\alpha(x,x)=(\alpha+1)x$ . Esta lista contiene todos los elementos de $F$ si $\alpha+1\neq0$ En otras palabras, si $\alpha\neq1$ . La otra diagonal de $L_\alpha$ tiene los elementos $L_\alpha(x,1+x)=\alpha+(\alpha+1)x$ . También son todos distintos, si $\alpha\neq1$ .
Por lo tanto, obtenemos dos MOLS con todas las entradas que ocurren en ambas diagonales seleccionando dos valores distintos, no nulos y no 1, para $\alpha$ y utilizando una ordenación de los elementos de campo de un tipo determinado. Como el campo contiene 4 u 8 elementos, hay al menos dos opciones para $\alpha$ restante, por lo que tenemos éxito.
Pongamos un ejemplo de un par de $8\times8$ MOLS. Comenzamos construyendo el campo de 8 elementos. Para ello declaro $\alpha$ para ser una raíz del polinomio primitivo $x^3+x+1\in \mathbb{F}_2[x]$ . Entonces tenemos $\alpha^3=\alpha+1$ , $\alpha^4=\alpha^2+\alpha$ , $\alpha^5=\alpha^2+\alpha+1$ , $\alpha^6=\alpha^2+1$ (y, por supuesto, $\alpha^7=1$ ).
Una ordenación del tipo descrito anteriormente sería entonces $x_0=0$ , $x_1=\alpha$ , $x_2=\alpha^2$ , $x_3=\alpha^4$ , $x_4=x_3+1=\alpha^5$ , $x_5=x_2+1=\alpha^6$ , $x_6=x_1+1=\alpha^3$ , $x_7=x_0+1=1$ .
El cuadrado latino $L_{\alpha}(i,j)=x_i+\alpha x_j, 0\le i,j\le 7,$ entonces tiene las entradas (la versión enumera las entradas como elementos de $\mathbb{F}_8$ (en esta última versión los he sustituido por los subíndices de la ordenación elegida): $$ L_{\alpha}=\pmatrix{ 0&\alpha^2&\alpha^3&\alpha^5&\alpha^6&1&\alpha^4&\alpha\cr \alpha&\alpha^4&1&\alpha^6&\alpha^5&\alpha^3&\alpha^2&0\cr \alpha^2&0&\alpha^5&\alpha^3&1&\alpha^6&\alpha&\alpha^4\cr \alpha^4&\alpha&\alpha^6&1&\alpha^3&\alpha^5&0&\alpha^2\cr \alpha^5&\alpha^3&\alpha^2&0&\alpha&\alpha^4&1&\alpha^6\cr \alpha^6&1&\alpha^4&\alpha&0&\alpha^2&\alpha^3&\alpha^5\cr \alpha^3&\alpha^5&0&\alpha^2&\alpha^4&\alpha&\alpha^6&1\cr 1&\alpha^6&\alpha&\alpha^4&\alpha^2&0&\alpha^5&\alpha^3\cr}, $$ o $$ L_{\alpha}=\pmatrix{ 0&2&6&4&5&7&3&1\cr 1&3&7&5&4&6&2&0\cr 2&0&4&6&7&5&1&3\cr 3&1&5&7&6&4&0&2\cr 4&6&2&0&1&3&7&5\cr 5&7&3&1&0&2&6&4\cr 6&4&0&2&3&1&5&7\cr 7&5&1&3&2&0&4&6\cr}. $$ Del mismo modo, obtenemos que $$ L_{\alpha+1}=\pmatrix{ 0&3&4&7&1&2&5&6\cr 1&2&5&6&0&3&4&7\cr 2&1&6&5&3&0&7&4\cr 3&0&7&4&2&1&6&5\cr 4&7&0&3&5&6&1&2\cr 5&6&1&2&4&7&0&3\cr 6&5&2&1&7&4&3&0\cr 7&4&3&0&6&5&2&1\cr}. $$ La teoría general nos dice que $L_\alpha$ y $L_{\alpha+1}$ son MOLS. Observamos que, de acuerdo con la parte anterior de la solución, ambos tienen la propiedad extra requerida. También observamos que los dos MOLS comparten el mismo conjunto de columnas. Esto está incorporado en el método de construcción.
