Sea A un $n\times n$ matriz simétrica no singular con entradas en $(0,\infty)$ .

Question

Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ matriz simétrica no singular con entradas en $(0,\infty)$ . Entonces podemos concluir que

(a) $|A| > 0 (|A|$ denota el determinante de A).

(b) $A$ es una matriz definida positiva.

(c) $B = A^2$ es una matriz definida positiva.

(d) $C = A^{-1}$ es una matriz con entradas en $(0,\infty)$ .

Tomé una matriz de ejemplo $A= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} $ y vio que las opciones (a), (b) y (d) son incorrectas.

Pero, ¿cuál es el enfoque adecuado para este problema?

Answer 1

Tienes razón en (a), (b), (d).

Los valores propios de $A^2$ no puede ser negativo.. De nuevo, los valores propios de $A$ no puede ser $0$ , como $A$ es no singular. Por lo tanto, los valores propios de $A^2$ nunca puede ser cero. Así, todos los valores propios de $A^2$ son positivos.

Así que, $A^2$ es positivo definido . Por lo tanto, (c) es VERDADERO.

Answer 2

Tienes razón sobre a,b,d. Aquí hay otra aproximación a c, que no se basa en los valores propios.

Dejemos que $A$ ser no singular y simétrico. Entonces $B=A^2 = A^TA$ es positiva definida. Tomemos un vector $x\ne0$ , entonces se sostiene $$ x^TBx = x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax) = \|Ax\|^2 >0, $$ donde utilizamos la invertibilidad de $A$ : ya que $x\ne 0$ , $Ax$ no puede ser cero. Esto demuestra la definición positiva de $B$ .

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Edición: este resultado es verdadero para una matriz simétrica, no singular y real $A$ Las entradas no tienen por qué ser positivas. También es cierto si $A\in \mathbb C^{n,n}$ es hermitiana, no singular. Sin embargo, la prueba sería más compleja.

Answer 3

Para a, b y d tu planteamiento es correcto tienes un contraejemplo. Echemos un vistazo a c. $A$ simétrico no singular y por lo tanto es diagonalizable con valores propios reales no nulos. $A^2$ tendrá entonces valores propios positivos (los cuadrados de los de $A$ ) además de ser simétrica, por lo que es definida positiva. La no singularidad es un supuesto esencial ya que $\begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix}$ espectáculos.