¿De cuántas maneras se parece mi cocodrilo a sí mismo?

Question

Aquí hay una fotografía topológicamente precisa de mi cocodrilo:

En particular, topológicamente es una esfera sólida. Puede describirse como una forma de sí mismo, pero eso es impreciso. ¡Hay tantas formas en las que puede tener forma de sí mismo!

En concreto, me pregunto cuántos homeomorfismos hay desde mi cocodrilo de esfera sólida hacia sí mismo. Sé que, bajo la hipótesis del continuo, esta cantidad es menor o igual a $\aleph_2$ . Sin embargo, no sé su valor exacto.

Además, sin la hipótesis del continuo o el axioma de elección, ¿seguimos conociendo esta cantidad?

Answer 1

Dado que su esfera tiene $|\mathbb R|$ y contiene un subconjunto denso contable (por ejemplo, los puntos con coordenadas racionales), el número de homeomorfismos no puede ser más grande que $|\mathbb R|$ ya que cualquier homeomorfismo está completamente dado por sus valores en un subconjunto denso, por lo que hay a lo sumo $$|\mathbb R^{\mathbb N}| = |(2^{\mathbb N})^{\mathbb N}| = |2^{\mathbb N\times\mathbb N}| = |2^{\mathbb N}| = |\mathbb R| $$ funciones continuas de la esfera a sí misma.

Por otro lado, también hay al menos continuo muchos homeomorfismos, por ejemplo las rotaciones rígidas alrededor de algún eje.

Por Cantor-Schröder-Bernstein, entonces, el número de homeomorfismos es exactamente $|\mathbb R|$ .

(Y esto es independiente de la hipótesis del continuo, la hipótesis generalizada y el axioma de elección).