Se lanza un dado 6 veces; ¿cuál es la probabilidad de que la primera tirada sea un uno o la última sea un uno?

Question

Esta pregunta aparece en la página 244 de "Statistics, 4th ed" de David Freedman.

El texto de la pregunta es:

Se lanza un dado 6 veces. La probabilidad de que la primera tirada sea un as o la última sea un as es igual a ______. Las opciones de respuesta son: $(1/6 + 1/6)$ , $(1/6 * 1/6)$ y "ninguno de ellos".

La respuesta correcta, según el libro, es "ninguna de las dos".

He intentado calcular la probabilidad asumiendo que cualquier número de ases puede aparecer en las seis tiradas, pero que la primera y la sexta tirada deben resultar en ases.

Obtuve ~0,278 como respuesta.

$(1/6)^2*(5/6)^4 + (1/6)^3*(5/6)^3*4!/3! + (1/6)^4*(5/6)^2 * 4! / (2!*2!) + (1/6)^5*(5/6)*4!/3! + (1/6)^6$

¿Es esto correcto?

Mi pregunta es: ¿cómo se puede deducir de esta pregunta que debemos considerar todos los casos de aparición de un "as" en cualquiera de las seis tiradas? Inicialmente, pensé que podía considerar las seis tiradas como independientes.

Answer 1

Es cierto que los seis rollos son independientes. Así que la probabilidad de que la primera tirada sea un as es $1/6$ y, del mismo modo, la probabilidad de que la última tirada sea un as es $1/6$ . Sin embargo, la probabilidad de que ocurra cualquiera de los dos sucesos no es sólo la suma: hay que restar la probabilidad de su intersección. La probabilidad de ambos que la primera y la última tirada sean ases es $1/6^2$ Así que la respuesta final es $1/6 + 1/6 - 1/6^2 = 11/36$ .

Answer 2

La probabilidad de que ni el primer ni el último dado sean un as es $(5/6)(5/6) = 25/36$ por lo que el evento complementario tiene probabilidad $1 - 25/36 = 11/36$ .

Answer 3

Sólo quería presentar una notación para practicar, en caso de que no estés familiarizado. Sea $A = \{\text{First roll is one}\}, B = \{\text{Last roll is one}\}$ . Entonces, recordando la regla de inclusión-exclusión, \begin {align*} P(A \text { O }B) &= P(A)+P(B)-P(AB) \\ &=P(A)+P(B)-P(A)P(B) \\ &= \frac {1}{6}+ \frac {1}{6}- \frac {1}{6} \cdot\frac {1}{6} \\ &= \frac {11}{36}, \end {align*} donde el $P(AB)$ es la probabilidad de $A$ y $B$ y se puede expresar como el producto $P(A)P(B)$ ya que los eventos son independientes. Alternativamente, $$P(A\text{ OR }B) = 1 -P(A^cB^c) = 1-P(A^c)P(B^c) = 1-\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6} = \frac{11}{36},$$ por la regla del complemento.

Nota final, si $A$ y $B$ fueran disjuntos (mutuamente excluyentes), entonces $P(AB) = 0$ y $$P(A\text{ OR }B) = P(A)+P(B)-P(AB) = P(A)+P(B)-0 = P(A)+P(B).$$ Pero este no es el caso.

Answer 4

La probabilidad de que la primera tirada sea un 1 es de 1/6. La probabilidad de que la última tirada sea un 1 es 1/6. Como estás viendo que el primer O el último rol es un 1, sumas las dos probabilidades. Así que la respuesta es 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.