Adquirir madurez matemática

Question

Fui redirigido aquí por un amable compañero de math.overflow. Esta no es una pregunta típica de matemáticas, así que me disculpo si es descortés.

Actualmente soy un estudiante de segundo año en mi programa de licenciatura en matemáticas. Me ha llevado un tiempo tomarme la escuela en serio; yo era uno de "esos" estudiantes que simplemente patinaban sin estudiar hasta Álgebra Lineal. Sin embargo, no empecé a tomarme en serio mis estudios hasta hace unos dos meses. Me tomé el semestre libre para reevaluar lo que realmente quería estudiar y decidí seguir mi (difícil) pasión por las matemáticas. Ahora estoy matriculada en el semestre de verano en mi universidad y estoy cursando ODEs y Análisis Real 1. Como muchos estudiantes, el análisis me parece un reto y a la vez muy emocionante. Sin embargo, a veces me sorprendo a mí mismo frustrado porque siento que no estoy progresando lo suficiente. ¿Ha sentido alguna vez dudas sobre sí mismo en su carrera como matemático? ¿Cómo ha superado esas preocupaciones? Además, ¿cuáles son algunas buenas técnicas o recursos para avanzar en las habilidades de uno como matemático de nivel universitario? Gracias por tomarse el tiempo de leer esto.

Atentamente, Rebecca

Answer 1

renuncia a la responsabilidad: También soy estudiante de segundo año en la universidad, estudiando matemáticas. He tomado álgebra, análisis I, teoría de la medida, topología algebraica.

Aquí hay algunas cosas que me ayudaron mucho:

(1) Si pasas mucho tiempo aquí, te haces una idea de cómo van las pruebas, en cierto sentido. Merece mucho la pena ver cómo enfocan las distintas personas un problema singular. Responder a las preguntas que se refieren a su curso de estudio realmente solidifica algunas ideas. Haz las preguntas raras, sólo cosas que te preguntan.

(2) deberías autoaprendizaje algo. Agarra a Munkres Topología libro y trabajar a través de las proposiciones, ver cuántos puede probar por sí mismo. Trabaja con ejercicios difíciles. Pasé unas 10 horas al día (durante las vacaciones de invierno) durante tres semanas repasando los tres primeros capítulos de topología general. Tengo que decir que me hizo mejorar infinitamente la síntesis de conceptos.

(3) Cuando te sientas desanimado, vuelve a ver los problemas que antes te resultaban difíciles; te sorprenderá mucho que, aunque hayas olvidado algunos detalles, puedas volver a aprenderlos con facilidad y los problemas te parezcan triviales.

(4) Habla con tus profesores. Seguro que serán sinceros contigo y, por supuesto, son un recurso inestimable. Crea tus propias preguntas e intenta resolverlas con los profesores.

Todavía estoy en proceso de "llegar", y ciertamente no soy uno de los genios. Sólo hago todas las matemáticas que puedo. Sin embargo, es más fácil aprender cosas nuevas es una sensación increíblemente emocionante. Puedes ver alguna mención de algo como un polinomio ciclotómico; ve y lee algunas definiciones - pero lo abstracto comienza a sentirse más natural - te encontrarás adivinando algunas propiedades que podría tener (¡intenta probarlas! algunas de ellas son falsas) y hojeando los detalles de las pruebas más involucradas (verás las grandes ideas.) Hay un montón de matemáticas en Internet, no tienes que conseguir todo, pero ve todo lo que puedas. Puede que no te ayude con el GRE o con los trabajos del curso, pero ha sido increíblemente gratificante para desarrollar mi pensamiento matemático.

¡+1 por la recomendación de ver lo que Terry Tao tiene que decir sobre este tema!

Answer 2

¿Ha sentido alguna vez dudas sobre su carrera como matemático? ¿Cómo ha superado esas preocupaciones? Además, ¿cuáles son algunas buenas técnicas o recursos para avanzar en las habilidades de un matemático de nivel universitario?

Claro que sí . Me gradué con una licenciatura en Matemáticas, énfasis en Estadística hace dos años, y ahora estoy cursando un máster en Estadística en una de las 20 mejores universidades a tiempo parcial mientras trabajo a tiempo completo en un empleo que me encanta.

Recuerdo la primera semana de mi curso de Análisis I. Estaba muy asustado por la clase, porque todos los estudiantes de matemáticas me decían lo difícil que era, y aquí estaba yo, este estudiante de ciencias actuariales que está tomando Análisis I para aumentar mi nota media . (A mí, francamente, no me fue tan bien en mis cursos de ciencias actuariales porque sentía que sólo regurgitaba hechos, y que los profesores no enseñaban los resultados en general).

Antes de la fecha de abandono, le pedí a mi profesor que calificara mi primera tarea y la utilizara para darme una recomendación sobre la continuidad de la clase. Me dijo que siguiera.

Obtuve un sobresaliente en Análisis I. Esto fue bastante satisfactorio, teniendo en cuenta que me especialicé en ciencias actuariales. Y luego las matemáticas puras sólo pulsado : Obtuve As en Álgebra Abstracta I, Análisis II y Álgebra Abstracta II. Para entonces, me di cuenta de que me había desviado completamente de la carrera de ciencias actuariales, y entonces, en mi último semestre, declaré la nueva carrera.

¿Cómo superé estas preocupaciones? No miré las matemáticas con miedo, sino como un reto que podía resolver. No se puede estudiar matemáticas con el miedo a las matemáticas antes de estudiarlas.

Técnicas/Recursos:

1. Leer muchos, muchos libros de matemáticas. Descubrí que dedicar algo de tiempo cada día -simplemente leer el libro de texto, sin tratar necesariamente de entender los conceptos en profundidad, sino simplemente hacerse una pequeña idea de lo que ocurre- me ayudó enormemente. Tampoco te limites a un solo libro de matemáticas por asignatura.
2. Habla con mucha gente sobre lo que estás estudiando. Esto te ayuda a comunicar las matemáticas con los demás, además de ayudarte a aprender más sobre cómo ven las matemáticas los demás. He aprendido un montón de técnicas que no aprendí en clase y que aprendí dando clases particulares a otras personas.

Answer 3

Incluso algunos de los matemáticos, científicos y eruditos con más talento experimentan la duda: la duda personal de haber elegido la carrera correcta, de haber trabajado en un problema solucionable o importante, de poder resolver el problema alguna vez (antes que un competidor), etc. Esto ocurre con todas las disciplinas que suponen un reto.

Juzga tu progreso tanto a nivel personal (estás aprendiendo tan rápido como crees que deberías) como a nivel de grupo (estás destacando en tu clase).

Las matemáticas son duras, y si quieres una carrera que las explote, te animarás si sientes placer por los actos brutos de las matemáticas: plasmar los problemas en forma matemática, realizar los cálculos, interpretar los resultados, comunicarlos a otros de forma eficaz, etc.

Sin embargo, dependiendo de tus intereses más profundos, podrías considerar centrarte en las matemáticas que te ayudarán en otra carrera matemáticamente rigurosa. Si te interesan las finanzas, estudia estadística y ecuaciones diferenciales; si te interesa la medicina, estudia estadística; si te interesa la informática, estudia matemáticas discretas, etc.

Por último: habla con los profesores y compañeros para expresar tus intereses, objetivos... y sí, dudas.

Pero ¡buena suerte!

Answer 4

No estoy estudiando y no voy a estudiar matemáticas oficialmente (soy un poco "viejo"), soy un aficionado. Cuando empecé a seguir mi afición más en serio a veces siento que no estoy entendiendo nada sólo memorizando cosas.

Pero el cerebro es un misterio gigante: uno o dos años después de empezar el "hobby", con largos periodos de tiempo sin ver nada de matemáticas, vuelvo y me sorprendió MUCHO que lo entendiera todo muy claro y no sólo como una especie de "memorización", es decir, que entendiera realmente de dónde vienen todas las cosas, de forma humana (por qué la medida es la medida, de dónde viene nuestra relación con las experiencias comunes en la vida, etc...)

Otra cosa que aprendí leyendo libros de matemáticas es que un tema puede verse desde muchos puntos de vista, algunos están más en armonía con tu propia visión o precomprensión del tema y muchos otros no tanto. Por ejemplo: Leí muchos libros de análisis de primer año de universidad, entendía (con menor o mayor esfuerzo) pero cada vez sentía que sólo estaba "memorizando" cosas y no entendiendo (lo que en el momento era cierto: no estaba entendiendo, sólo tratando de entender y memorizando), pero ¡oh sorpresa!, ahora después de un tiempo y de leer libros de otros temas matemáticos (probabilidad, topología, etc...) y de leer diferentes libros de análisis desde diferentes perspectivas (el libro de Abbott o el de Tao) empecé a ver claro el análisis.

Lo mismo me pasa con la topología: No la entendí cuando empecé a verla desde el enfoque clásico de los espacios métricos. Sólo después de leer un libro sobre topología desde el punto de vista de la topología (no del análisis) empecé a entenderlo muy claramente. En muchos otros temas de las matemáticas pasó lo mismo: algún enfoque no es tan comprensible como otro.

Y estoy empezando a pensar que las matemáticas son realmente fáciles, las piedras clave son ideas poderosas pero muy limpias y simples. La dificultad viene, para mí, de entender el lenguaje de las matemáticas y tener algún tipo de ejemplos (imágenes) y contextos que ayuden a ver las cuestiones con claridad.

Otra cosa que me pasó es que empecé a NECESITAR demostrar cada teorema que veo, o al menos necesito ver alguna prueba al respecto. Empecé a ver las pruebas como algo esencial y, además, muy divertido.

No sé si esta respuesta le resultará interesante o útil, espero que sí. Y hablando más en general: en cualquier tipo de aprendizaje (no sólo en matemáticas) hay momentos en los que todo es más aburrido/complicado/frustrante, y momentos en los que todo es muy interesante y divertido.

P.D.: mi recomendación de análisis es Comprender el análisis de Abad. Para la topología mi recomendación es Topología sin lágrimas de Morris.