Computar $\int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac{|x|^a}{(1+x^2)^b}dx$

Question

Dejemos que $a,b$ sean números reales, consideramos la integral en forma $\int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac{|x|^a}{(1+x^2)^b}dx$ . Sé que cuando $a=0$ entonces la integral es finita si $b>1/2$ .

Quiero encontrar unas condiciones necesarias y suficientes para $a,b$ para lo cual $\int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac{|x|^a}{(1+x^2)^b}dx$ es finito, pero no tengo ni idea. ¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Como $|x| \to \infty$ el integrando es asintótico a $|x|^{a-2b}$ Así que lo que se necesita para la convergencia es $a-2b < -1$ .

Como $|x| \to 0$ el integrando es asintótico a $|x|^a$ Así que aquí se necesita $a > -1$ .

Por cierto, la integral puede evaluarse de forma cerrada (bajo los supuestos anteriores): la respuesta es $$ {\frac {\Gamma \left( -1/2+b-a/2 \right) \Gamma \left( a/2+1/2 \right) }{\Gamma \left( b \right) }} $$