Transformación de los operadores diferenciales

Question

Considere la transformación de la variable $(t,x) \mapsto (\xi,\eta)$ $$ \xi = t - \frac{x}{c}, \hspace{1cm} \eta = t + \frac{x}{c}.$$

Cómo transformar entonces los operadores ( $\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial t}$ ) a ( $\frac{\partial}{\partial \xi}, \frac{\partial}{\partial \eta}$ ) ? Son $$ \frac{\partial}{\partial \xi} = \frac12 \left( \frac{\partial}{\partial t} - c \frac{\partial}{\partial x} \right) , \hspace{1cm} \frac{\partial}{\partial \eta} = \frac12 \left( \frac{\partial}{\partial t} + c \frac{\partial}{\partial x} \right),$$

pero no puedo derivarlas.

Answer 1

Utilizando el cambio de variable estándar para las derivadas $$ \partial_\zeta = \partial_\zeta x \partial_x + \partial_\zeta t \partial_t \\ \partial_\eta= \partial_\eta x \partial_x + \partial_\eta t \partial_t $$ también tenemos $$ 2t = \eta + \zeta \to t = \frac{\eta + \zeta }{2}\\ 2\frac{x}{c} = \eta - \zeta \to x = c \frac{\eta - \zeta }{2} $$ así que $$ \partial_\zeta x = -\frac{c}{2},\,\, \partial_\zeta t = \frac{1}{2}\\ \partial_\eta x = \frac{c}{2},\,\, \partial_\eta t = \frac{1}{2} $$

Colocar en las ecuaciones anteriores.

Answer 2

A mí me parece una tarea para la relatividad especial. Así que sólo voy a dar una pista / llenar los vacíos.

Utilizar la regla de la cadena multivariable sobre una función arbitraria (adecuadamente diferenciable) $f$ : $$ \frac{\partial}{\partial t} f(\xi(t,x), \eta(t,x)) = \frac{\partial}{\partial \xi} f \cdot \frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \eta} f \cdot \frac{\partial \eta}{\partial t}. $$ Haga algo similar para $\frac{\partial}{\partial x}$ y así establecer un par de ecuaciones simultáneas sobre sus derivadas (tratando $\frac{\partial}{\partial t}$ y $\frac{\partial}{\partial x}$ como se sabe). Puedes reordenar para obtener las ecuaciones necesarias.