Representación de Kraus de los mapas lineales

Question

Quiero demostrar el siguiente teorema:

Teorema: Para todo mapa lineal $\Phi\in T(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ existen conjuntos de operadores $\{A_r: r\in\Sigma\}$ y $\{B_r: r\in\Sigma\}$ con $A_r:L(\mathcal{X})\rightarrow L(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ y $B_r:L(\mathcal{X})\rightarrow L(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ tal que \begin {Ecuación} \Phi (X)= \sum_r A_r X B_r^*,~~ \forall X \in L( \mathcal {X}), \end {Ecuación} donde $\mathcal{X}$ es un espacio vectorial complejo de dimensión finita, $L(\mathcal{X})$ es el conjunto de operadores lineales de $\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}$ y $T(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ es el conjunto de todos los mapas lineales de $L(\mathcal{X})\rightarrow L(\mathcal{Y})$ .

Esto es lo que tengo hasta ahora como prueba:

Dejemos que $\{E_{kl}\}$ y $\{E_{mn}\}$ sean las bases estándar de $L(\mathcal{X})$ y $L(\mathcal{Y})$ respectivamente. Ampliar $X$ en la base del operador para $L(\mathcal{X})$ y utilizando la linealidad de $\Phi$ tenemos \begin {Ecuación} \Phi (X)= \sum_ {kl}X_{kl}~ \Phi (E_{kl}). \end {Ecuación} Lo anterior implica que \begin {Ecuación} \Phi (X)= \sum_ {kl,mn}X_{kl}~ \langle m | \Phi (E_{kl})|n \rangle |m \rangle\langle n| \\ = \sum_ {kl,mn} \langle m | \Phi (E_{kl})|n \rangle |m \rangle\langle k|~X~|l \rangle\langle n|. \end {Ecuación} Esto implica que \begin {Ecuación} \label {eq:vecphi(X)} vec \Big ( \Phi (X) \Big )= \sum_ {kl,mn} \langle m | \Phi (E_{kl})|n \rangle ~vec \Big ( |m \rangle\langle k|~X~|l \rangle\langle n| \Big ) \notag\\ = \sum_ {kl,mn} \langle m | \Phi (E_{kl})|n \rangle |m \rangle\langle k| \otimes |n \rangle\langle l~vec \big (X \big ) \notag\\ = \Phi\Big (vec \big (X \big ) \Big ). \end {Ecuación} La última igualdad se desprende de la linealidad de vec y $\Phi$ . Así, \begin {Ecuación} \Phi = \sum_ {kl, mn} \phi_ {mk,nl}~|m \rangle\langle k| \otimes |n \rangle\langle l|, \end {Ecuación} donde \begin {Ecuación} \phi_ {mk,nl}= \langle m | \Phi (E_{kl})|n \rangle. \end {Ecuación}

Obsérvese que la ecuación anterior también puede expresarse como \begin {Ecuación} \Phi = \sum_ {kl, mn} \phi_ {mk, nl}~|mn \rangle\langle kl| \notag\\ = \sum_ {kl, mn} \phi_ {mk, nl}~vec \Big (E_{mn} \Big )vec \Big (E_{kl} \Big )^*, \end {Ecuación}

Como $\Phi\in T(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ admite una descomposición del valor singular, es decir, conjuntos de vectores $\{x_1,x_2,...x_r\}\subset\mathcal{X}\otimes\mathcal{X}$ y $\{y_1,y_2,...y_r\}\subset\mathcal{Y}\otimes\mathcal{Y}$ junto con un conjunto de reales positivos $\{s_1, s_2,...s_r\}$ tal que \begin {Ecuación} \Phi = \sum_rs_ry_rx_r ^*. \end {Ecuación} Las dos últimas ecuaciones implican conjuntamente \begin {Ecuación} \phi_ {mk,nl}= \sum_r s_r vec \Big (E_{mn} \Big )^*y_rx_r^*vec \Big (E_{kl} \Big ) \notag\\ = \sum_r s_r ~a_{mn}^r ~b_{kl}^{r*}, \end {Ecuación} donde $a_{mn}^r=vec\Big(E_{mn}\Big)^*y_r$ y $b_{kl}^{r*}=x_r^*~vec\Big(E_{kl}\Big)$ . Recordando la segunda ecuación de arriba para $\Phi(X)$ y utilizando la expresión para $\phi_{mknl}$ tenemos \begin {Ecuación} \Phi (X)= \sum_ {kl,mn} \phi_ {mk, nl} |m \rangle\langle k|~X~|l \rangle\langle n| \\ = \sum_r s_r \sum_ {kl,mn} ~a_{mn}^r ~b_{kl}^{r*} |m \rangle\langle k|~X~|l \rangle\langle n|. \end {Ecuación}

Ahora, si uno pudiera intercambiar los índices $n$ y $k$ uno sería a través de como entonces la suma de $m,k$ daría un operador que multiplicaría $X$ desde la izquierda y sumando sobre $l,n$ daría un operador que multiplicaría $X$ de la derecha. Sin embargo, eso no es evidente.

Conozco una prueba alternativa que utiliza el isomorfismo Choi-Jamilkowski. Sin embargo, no estoy seguro de si esta prueba se puede completar o si es errónea.

Cualquier comentario o referencia sería de gran ayuda.

Gracias.

Answer 1

Creo que su método de prueba no funcionará. En primer lugar, su teorema, tal y como está planteado, es incorrecto, ya que sus operadores $A_r$ y $B_r$ no están en los espacios correctos. El teorema correcto es:

Teorema : Para todo mapa lineal $\Phi\in \operatorname{T}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ existen colecciones de operadores $\{A_r: r\in\Sigma\}\subset\operatorname{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ y $\{B_r: r\in\Sigma\}\subset\operatorname{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ tal que $$ \Phi(X)=\sum_r A_r X B_r^*,~~\forall X\in L(\mathcal{X}). $$

Es decir, cada $A_r$ y $B_r$ es un operador lineal de $\mathcal{X}$ a $\mathcal{Y}$ (no de $\operatorname{L}(\mathcal{X})$ a $\operatorname{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ como indica su teorema).

Es útil introducir la siguiente notación para poder discriminar entre el mapeo y su representación matricial (ambos se llaman $\Phi$ en su pregunta). El representación natural de una cartografía lineal $\Phi\in\operatorname{T}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ es el operador $K(\Phi)\in\operatorname{L}(\mathcal{X}\otimes\mathcal{X},\mathcal{Y}\otimes\mathcal{Y})$ definido como $$ K(\Phi)x\otimes y = \operatorname{vec}(\Phi(xy^{\scriptscriptstyle\mathsf{T}})) $$ para todos los vectores $x,y\in\mathcal{X}$ (o analógicamente como $K(\Phi)\operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(\Phi(X))$ para todos los operadores $X\in\operatorname{L}(\mathcal{X})$ ).

Las "entradas de la matriz" de la representación natural $K(\Phi)$ son ahora lo que se llama $\phi_{mk,nl}$ . En concreto, los valores $\phi_{mk,nl}$ satisfacer $$ K(\Phi)(\operatorname{vec}(E_{k,l})) = \sum_{m,n}\phi_{mk,nl}\operatorname{vec}(E_{m,n}). $$ Siguiendo su intento de demostración, podemos encontrar una descomposición de valor singular de $K(\Phi)$ eligiendo operadores $A_r\in\operatorname{L}(\mathcal{X})$ y $B_r\in\operatorname{L}(\mathcal{Y})$ tal que $$ K(\Phi) = \sum_r \operatorname{vec}(B_r)\operatorname{vec}(A_r)^* \tag{$ 1 $} $$ (donde podemos absorber los valores $s_r$ en cualquiera de los dos $A_r$ o $B_r$ ), y estos son exactamente los operadores cuyos entres matriciales has denotado como $a_{kl}^r$ y $b_{mn}^r$ respectivamente. Por desgracia, esta colección de operadores $A_r$ y $B_r$ no puede sean los operadores deseados en su Teorema ya que no son operadores de la forma correcta. En concreto, los operadores $A_r$ y $B_r$ en la descomposición en (1) están en $A_r\in\operatorname{L}(\mathcal{X})$ y $B_r\in\operatorname{L}(\mathcal{Y})$ . Pero los operadores que busca en su teorema son $A_r,B_r\in\operatorname{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ . Por lo tanto, esta no es la descomposición de valores singulares correcta que se necesita para demostrar el Teorema.

La forma "correcta" de demostrar el Teorema es simplemente utilizar la representación Choi-Jamiolkowski del mapeo, que es el operador $J(\Phi)\in\operatorname{L}(\mathcal{Y}\otimes\mathcal{X})$ definido como $$ J(\Phi) = \sum_{kl}\Phi(E_{k,l})\otimes E_{k,l}. $$ Los operadores deseados $\{A_r: r\in\Sigma\}\subset\operatorname{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ y $\{B_r: r\in\Sigma\}\subset\operatorname{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ provienen ahora de la descomposición del valor singular de $J(\Phi)$ , donde $$ J(\Phi) = \sum_r \operatorname{vec}(A_r)\operatorname{vec}(B_r^{\scriptscriptstyle\mathsf{T}})^*. $$