Cada $T_3$ espacio con una base contable es $T_4$ .

Question

Teorema. Todo espacio regular con base contable es normal.

Prueba. Sea X un espacio regular con una base contable $\mathcal{B}$ . Sea $A$ y $B$ sean subconjuntos cerrados disjuntos de $X$ . Cada punto $x$ de $A$ tiene un barrio $U$ disjunta de $B$ . Utilizando la regularidad, elige un barrio $V$ de $x$ cuyo cierre se encuentra en $U \dots$

No puedo seguir el último paso realizado hasta este punto; Utilizando la regularidad, elige un barrio $V$ de $x$ cuyo cierre se encuentra en $U$ .

Sé que $X$ es un espacio regular si, dado cualquier conjunto cerrado no vacío $F$ y cualquier punto $x$ que no pertenece a $F$ existe una vecindad $U$ de $x$ y un barrio $V$ de $F$ que son disjuntos.

¿Podría alguien ayudarme con algunas ideas?

Gracias de antemano.

Answer 1

$x$ es un punto. $U\ni x$ está abierto. $X\setminus U$ está cerrado. La regularidad implica que hay vecindades disjuntas $V \ni x$ y $V' \supset X\setminus U$ .

Tenemos $$ V\cap V' = \emptyset \implies V \subseteq X \setminus V' $$ Obsérvese que el lado derecho es el complemento de un conjunto abierto y por tanto es cerrado. Tomando el cierre de ambos lados tenemos $$ \bar{V} \subseteq \overline{X\setminus V'} = X\setminus V'$$

Ahora bien, como $$ X\setminus U \subseteq V'$$ de las leyes de Morgan tenemos $$ X\setminus V' \subseteq U $$ y así $$ \bar{V} \subseteq U $$ como se desee.