Relación de delimitación de los pmfs conjuntos y marginales para el modelo de urna

Question

Configurar

Supongamos que tengo $N=mn$ bolas en una urna, con $N_1$ rojo y $N_0$ negro ( $N=N_1+N_0$ ). Ahora supongamos que realizo $m$ sorteos de $n$ bolas ( $n\ll N$ ), cada vez sin de reemplazo.

Dejemos que $Y_1,\dots,Y_m$ sea una secuencia de variables aleatorias que representan el número de bolas rojas para $m$ sorteos, y $y_1,\dots,y_m$ sean sus respectivas observaciones. La probabilidad conjunta de observar $y_1,\dots,y_m$ está dada por:

$$ P(Y_1=y_1,\dots,Y_m=y_m)=\frac{\binom{N_1}{y_1,\dots,y_m}\binom{N_0}{n-y_1,\dots,n-y_m}}{\binom{N}{\underbrace{n,\dots,n}_\text{$ m $ times}}} $$

Compárelo con el producto de las probabilidades marginales:

$$ \prod_{k=1}^m P(Y_k=y_k)=\prod_{k=1}^m\frac{\binom{N_1}{y_k}\binom{N_0}{n-y_k}}{\binom{N}{n}} $$

Reclamación

Ahora afirmo que para un tamaño suficientemente grande $N$ y alguna relación entre $n$ y $N$ la cantidad

$$ \frac{P(Y_1=y_1,\dots,Y_m=y_m)}{\prod_{k=1}^m P(Y_k=y_k)} $$

puede hacerse arbitrariamente cercano a 1. Cuando el número de sorteos $m$ es grande y el número total de bolas en la urna, $N$ también es muy grande, un solo sorteo de $n\ll N$ bolas es poco probable que afecte a la probabilidad de obtener una bola roja en cualquier otra combinación de $n$ sorteos. Por lo tanto, afirmo que la articulación puede ser aproximada por el producto de las probabilidades marginales en el sentido asintótico. A grandes rasgos, las variables aleatorias $Y_1,\dots,Y_m$ son "asintóticamente independientes".

Pregunta

¿Existen resultados en la literatura de modelos de urna que contemplen este tipo de problemas? He trabajado el álgebra y encontré que puedo limitar la relación como

$$ \frac{P(Y_1=y_1,\dots,Y_m=y_m)}{\prod_{k=1}^m P(Y_k=y_k)}\leq \left(\frac{N!}{(N-n)!}\right)^{m-1}\frac{N_1!N_0!}{(N-n)!} $$

pero este límite no es ajustado y llega hasta el infinito (como $n,m,N\to\infty$ ), para el caso en que $n\approx N^{1/3}$ (también hay que tener en cuenta que $m=N/n$ ). ¿Es posible la convergencia de esta proporción?

Answer 1

No es exactamente una respuesta / demasiado larga para un comentario.

No conozco ninguna literatura. Sin embargo, basándose en su razonamiento intuitivo para la $n \ll N$ caso, parecería que si la proporción $\approx 1$ en absoluto, debería ocurrir cuando $n=1, m=N$ ¿verdad? Pero no es así. Esto pone en duda tu afirmación original de que la proporción debería ser cercana a $1$ .

Para el $n=1$ caso, exactamente $N_1$ de la $y_k$ de la igualdad $1$ y el resto igual $0$ . Por tanto, la probabilidad conjunta es

$$P(Y_1 = y_1, \dots, Y_N = y_N) = {1 \over {N \choose N_1}} = {N_1! ~ N_0! \over N!}$$

Mientras tanto, el producto de los marginales es

$$\prod P(Y_k = y_k) = ({N_1 \over N})^{N_1} \times ({N_0 \over N})^{N_0} = {N_1^{N_1} ~ N_0^{N_0} \over N^N}$$

Ahora la aproximación de Stirling es

$$N! \approx \sqrt{2 \pi N} ({N \over e})^N \iff {N! \over N^N} \approx {\sqrt{2 \pi N} \over e^N}$$

Así que su proporción se convierte en

$${P(Y_k = y_k \forall k) \over \prod P(Y_k = y_k)} = {\sqrt{2 \pi N_1} \sqrt{2 \pi N_0} \over \sqrt{2 \pi N}} = \sqrt{2 \pi {N_1 N_0 \over N}}$$

que no es igual a $1$ . De hecho, si $N \to \infty$ mientras que el fracción de bolas rojas $f_{red} = {N_1 \over N}$ se mantiene constante, el RHS $\to \infty$ también.

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Otras reflexiones: usted dijo

Cuando el número de sorteos $m$ es grande y el número total de bolas en la urna, $N$ también es muy grande, un solo sorteo de $n \ll N$ bolas es poco probable que afecte a la probabilidad de obtener una bola roja en cualquier otra combinación de $n$ sorteos.

Por supuesto, esto es cierto, pero no se trata de la proporción. El ratio no incluye sólo un sorteo, sino todos $m$ sorteos. Así, mientras que el efecto de un sorteo sobre otro es insignificante (si $n \ll N$ ), eso no implica que los efectos de todos los sorteos entre sí sigan siendo insignificantes.