¿Existe alguna clase de equivalencia ordenada que se pueda utilizar para distinguir 1+1 y 2 , En un lado hay una operación y en el otro sólo un número.
Esto se hace más evidente cuando se trata de la factorización y la multiplicación , por ejemplo 17,19 = 323 , el LHS contiene más información que el RHS, pero ¿cómo ponerles un orden?
Una relación de equivalencia sobre un conjunto $S$ particiones $S$ en subconjuntos disjuntos. ¿Qué es $S$ en su caso?
Si $S$ es un conjunto de números estándar, como $\mathbb R$ o $\mathbb N$ , entonces no se puede poner $1+1$ y $2$ en clases de equivalencia separadas, porque son el mismo elemento (de $\mathbb R$ o $\mathbb N$ o lo que sea).
Pero si su conjunto $S$ es el conjunto de cadenas que representan expresiones aritméticas bien formadas, entonces se puede definir una relación de equivalencia según (por ejemplo) el número de operaciones aritméticas en la cadena. Entonces " $2$ " equivale a " $323$ ", y " $1+1$ " equivale a " $17 \times 19$ ".
Podrías mirar el conjunto $\mathbb N\times\mathbb N$ de pares ordenados de números naturales con igualdad como relación de equivalencia. El número único $2$ debe escribirse entonces como $(2,0)$ . Para esta relación de equivalencia, $(1,1)$ y $(2,0)$ no son equivalentes.
En el plató $\mathbb N\times\mathbb N$ entonces hay un más débil relación de equivalencia definida por: $(a,b)\sim (c,d)$ si y sólo si $a+b=c+d$ .
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