prueba de : $ E^Q \left[ Y|F(s) \right] = \frac{1}{Z(s)}E^P\left[ Y Z(t) | F(s) \right]$

Question

Para demostrar este lema :

$$ E^Q \left[ Y|F(s) \right] = \frac{1}{Z(s)}E^P\left[ Y Z(t) | F(s) \right]$$

con $P$ y $Q$ dos medidas de probabilidad equivalentes y $Z(t)$ es la expectativa de la derivada de Radon Nikodym $Z(t) = E^P \left[\frac{dQ}{dP}|F(t) \right]$ y $Y$ es $F(t)-$ medible.

Encontré que en el Cálculo Estocástico para las Finanzas II de Shreve, el resultado se concluye sólo con la comprobación de la propiedad del promedio parcial :

$$ \int_A \frac{1}{Z(s)}E^P\left[ Y Z(t) | F(s) \right] dQ = \int_A E^Q \left[ Y|F(s) \right] dP$$ Mi pregunta es ¿por qué basta con comprobar la propiedad de la media parcial para concluir el resultado? ¿Por qué no se prescinde de tomar la expectación de ambos lados? Gracias

Answer 1

Tiene una pregunta para este enlace Te di en tu otra pregunta

1. ¿por qué no preguntas allí si tienes alguna duda?
2. ¿por qué no enlaza con la respuesta que tiene una pregunta?

No obstante, respondamos a su pregunta: Te equivocas, en "Shreve's Stochastic Calculus for Finance II" no comprueban $$\int_A \frac{1}{Z(s)}E^P\left[ Y Z(t) | F(s) \right] dQ = \int_A E^Q \left[ Y|F(s) \right] dP$$ pero comprueban si $$\int_A \frac{1}{Z(s)}E^P\left[ Y Z(t) | F(s) \right] dQ = \int_A Y dQ$$ se mantiene para $A \in F(s)$ . O si lo escribes con expectativas en lugar de la forma integral $$E_Q\left[1_A\frac{1}{Z(s)}E^P\left[ Y Z(t) | F(s) \right]\right] = E_Q\left[1_AY\right]$$ Y es que esto tenía que sostenerse necesariamente si $$\frac{1}{Z(s)}E^P\left[ Y Z(t) | F(s) \right]$$ debe ser la expectativa condicional de $Y$ en relación con $F(s)$ además de la $F(s)$ - mesurabilidad... esta aquellos es obvia. Tal vez sea más claro para usted si ponemos $$X := \frac{1}{Z(s)}E^P\left[ Y Z(t) | F(s) \right]$$ Entonces $X$ es el $Q$ -expectativa condicionada de $Y$ por ejemplo $F(s)$ si

• $X$ es $F(s)$ mb
• $E_Q[X1_A] = E_Q[Y1_A]$ para todos $A \in F(s)$

Y esto es exactamente lo que se comprueba: $$E_Q[X1_A] = \int_A X dQ = \int_A \frac{1}{Z(s)}E^P\left[ Y Z(t) | F(s) \right] dQ = \int_A Y dQ = E_Q[Y1_A]$$