Transformación de un círculo para obtener una parábola

Question

En http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/geometry/geo-tran.html

No consigo entender el siguiente punto

Obviamente, esta transformación envía $\;(x,y,w)=(1,0,1)\;$ a $\;(x',y',w') = > (1,-1,0).\;$ Es decir, esta transformación proyectiva envía $\;(1,0)\;$ en el $xy-$ plano al punto en el infinito en dirección $\;<1,-1>.\;$ A partir del lado derecho de la ecuación matricial $\;x=Px'\;$ tenemos

x = 2x' + y'
y = x' + y'                                               (1)
w = 2x' + y' + w' 

Consideremos un círculo $\;x^2 + y^2 = 1.\;$ Si se introducen las ecuaciones anteriores en la ecuación del círculo la convierte en la siguiente:

x^2 + 2xy + y^2 - 4xw - 2yw - w^2 = 0                     (2)

Dividiendo lo anterior por $\;w^2\;$ para convertirlo de nuevo en forma convencional produce

x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 2y - 1 = 0                         (3)

¡Esto es una parábola! (¿Por qué?) Por lo tanto, un círculo que no tiene punto en el infinito se transforma en una parábola que sí tiene punto en infinito.

Cómo es (2) la ecuación de un círculo. He intentado convertir a coordenadas homogéneas, aplicar la transformación y luego comparar y no consigo la misma respuesta.

¿Cómo es (3) una parábola? Tiene un $\;x^2\;$ plazo y un $\;y^2\;$ plazo.

Answer 1

La ecuación es $(x+y)^2-4x-2y-1=0$ por lo que será una parábola con una apertura paralela a $x=-y$ Continuando, tenemos $$(x+y)^2-4x-2y-1=0\\(x+y)^2-3(x+y)+\frac 94+(y-x)-\frac{13}4=0\\(x+y-\frac 32)^2=-(y-x)+\frac{13}4$$ por lo que se tiene una parábola girada por $\frac \pi 4$