Diferentes construcciones de la botella de Klein

Question

Considera las siguientes construcciones para la botella de Klein:

1) $\mathbb{R}^{2}/G$ : donde $G=\langle f_1, f_2\rangle$ tal que.., $f_1, f_2:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ dado por $f_1(x, y)=(x, y+1)$ y $f_2(x, y)=(x+1, 1-y)$ .

2) $(S^{1}\times \mathbb{R})/H$ : donde $H$ es el grupo cíclico abarcado por $h:S^{1}\times \mathbb{R} \rightarrow S^{1}\times \mathbb{R}$ dado por $h((x, y), z)=h(x, y, z)=(x, -y, z+1)$ .

3) $(S^{1}\times S^{1})/K $ : donde $K=\{ I_{S^{1}\times S^{1}}, k\}$ , de tal manera que $I_{S^{1}\times S^{1}}$ es la identidad y $k:S^{1}\times S^{1}\rightarrow S^{1}\times S^{1}$ viene dada por $k(x, y)=(\overline{x}, -y)$ .

Quiero demostrar lo siguiente :

Las 3 variedades suaves cotizadas $\mathbb{R}^{2}/G$ , $(S^{1}\times \mathbb{R})/H$ y $(S^{1}\times S^{1})/K $ son difeomorfos.

Editar: Esto es lo que he hecho hasta ahora: he comprobado que los grupos $G$ , $H$ y $K$ actúan correctamente de forma discontinua sobre $\mathbb{R}^{2}$ , $S^{1}\times \mathbb{R}$ y $S^{1}\times S^{1}$ respectivamente. Luego apliqué un teorema para concluir que existe una única estructura lisa tal que esos cocientes son variedades lisas y sus respectivos mapas cocientes son, de hecho, mapas de cobertura.

Observación:

Definición 1: $G$ un grupo de difeomorfos, actúan libremente en $M$ si para todo $g\in G\ -\{e\}$ , $g$ no tiene puntos fijos, donde $e$ es la identidad.

Definición 2: $G$ es propiamente discontinuo en $M$ si:

(i) $G$ actuar libremente en $M$ .

(ii) para todos los $x, y\in M$ , de tal manera que $Gx\neq Gy$ hay subconjuntos abiertos de $M$ , $x\in U$ , $y\in V$ tal que $U \cap g(V)= \emptyset$ para todos $g\in G$ .

iii) para cada $x\in M$ hay un subconjunto abierto de $M$ , $x\in V$ , de tal manera que $g(V)\cap V=\emptyset$ para todos $g\in G-\{ e \}$ .

¿Alguien puede ayudarme? Todavía tengo que encontrar los difeomorfismos.

Gracias.

Answer 1

A continuación te explicamos cómo hacerlo con lo que has conseguido hasta ahora. Una vez que veas el método para 1) y 2), probablemente puedas extenderlo a los otros casos.

Permítanme denotar $p_1 : \mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^2 / G$ como el mapa cociente dado en 1), y $p_2 : (S^1 \times \mathbb R) / H$ como el mapa cociente dado en 2). Ambos $p_1,p_2$ son mapas de cobertura, y ambos son suaves. Otra forma de expresar esto es que las estructuras suaves en los cocientes $\mathbb R^2 / G$ y $(S^1 \times \mathbb R) / H$ son inducidas, o heredadas, de las estructuras lisas en $\mathbb R^2$ y $S^1 \times \mathbb R$ respectivamente.

La idea es expresar el difeomorfismo de los cocientes primero como un mapa suave entre las cubiertas, y luego comprobar lo que sea necesario para verificar que hay un difeomorfismo inducido en los cocientes.

Existe un mapa de cobertura universal $q : \mathbb R^2 \mapsto S^1 \times \mathbb R$ que se define por $q(x,y) = ((\cos 2 \pi y,\sin 2\pi y),x)$ . El grupo de transformación de cubierta de $q$ es generado por su mapa $f_1$ . También existe un homomorfismo suryectivo $\alpha : G \mapsto H$ definido por $f_1 \mapsto \text{Id}$ y $f_2 \mapsto h$ . El mapa $q$ tiene la propiedad de ser "equivariante con respecto a $\alpha$ ", lo que significa que para cada $g \in G$ y cada $p \in \mathbb R^2$ tenemos $q(g \cdot p) = \alpha(g) \cdot q(p)$ . De ello se desprende que $q$ induce una función bien definida $$Q : \mathbb R^2 / G \mapsto (S^1 \times \mathbb R) / H $$ En palabras, $Q$ toma el $G$ -órbita de un punto $p \in \mathbb R^2$ a la $H$ órbita del punto $q(p) \in S^1 \times \mathbb R$ . Ahora sólo tienes que perseguir los diagramas y verificar por ti mismo que $Q$ es un difeomorfismo: es uno a uno; es onto; es suave; y su inversa es suave.