$S_n=\{x_i^{\alpha}x_j^{\gamma} \mid 0\leq \alpha , \gamma\leq n ~\& ~\alpha+\gamma=n ~\& ~ i,j \in \{1,2,3,4\} ~ \& ~ i \neq j\}$
Por ejemplo $n=2$ , $S_2=\{x_1^2,x_2^2,x_3^2,x_4^2,x_1x_2,x_1x_3,x_1x_4,x_2x_3,x_2x_4,x_3x_4\}$
¿Cuál es la cardinalidad de $S_n?$
La definición de $S_n$ puede simplificarse un poco: $$S_n=\{x_i^{\alpha}x_j^{n-\alpha} \mid 0\leq \alpha\leq n ~\& ~ i,j \in \{1,2,3,4\} ~ \& ~ i \neq j\}.$$
El número de $\alpha$ con $0\le\alpha\le n$ es $n+1$ . Para cualquier conjunto finito $K$ de tamaño $k$ el número de $i,j\in K$ con $i\ne j$ es $k^2-k = k(k-1)$ . Aquí, $K = \{1,2,3,4\}$ , $k=4$ .
Así que el tamaño de $S_n$ es $12(n+1)$ .
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