Prueba de inducción: $\sum_{i=1}^{n+1} i \cdot 2^i = n \cdot 2^{n+2}+2 $

Question

Demostrar por Inducción Matemática . . .

$$\sum_{i=1}^{n+1} i \cdot 2^i = n \cdot 2^{n+2}+2 $$ para todos $n \geq 0$

Intenté resolverlo, pero me quedé atascado cerca del final

a. Paso de la base:

$1\cdot 2^1 = 0\cdot 2^{0+2}+2$

$2 = 2$

b. Hipótesis inductiva

$$\sum_{i=1}^{k+1} i \cdot 2^i = k \cdot 2^{k+2} +2 $$ para $k \geq 0$

Demuestra que k+1 es cierto.

$$\sum_{i=1}^{k+2} i \cdot 2^i = (k+1)\cdot 2^{k+3}+2 $$

$\big[RHS\big]$

$k\cdot 2^{k+3}+2^{k+3}+2$

$\big[LHS\big]$

$$\sum_{i=1}^{k+2} {i \cdot 2^{i}} $$

$= \underbrace{\sum_{i=1}^{k+1} i \cdot 2^i} + (k+2)\cdot 2^{k+2}$ (Último paso explícito)

$= \underbrace{k\cdot 2^{k+2}+2}+(k+2)\cdot 2^{k+2}$ (Sustitución de hipótesis inductiva)

$= k\cdot 2^{k+2}+2+k\cdot 2^{k+2}+2^{k+3}$

$= 2k\cdot 2^{k+2} + 2^{k+3} + 2$

Mi [LHS] tiene uno de más $2k\cdot 2^{k+2}$ ¿o simplemente lo hizo completamente mal?

Answer 1

Atención: ha sustituido $\sum_{i=1}^{k+1}2^i=2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\ldots+(k+1)2^{k+1}$ por $(k+1)2^{k+1}$ y esto es un error para $k\geq 2$ .

La fórmula es válida para $n=0$ como has observado.

Ahora supongamos que se mantiene para algunos $n\geq 0$ es decir $$ \sum_{i=1}^{n+1}i2^i=n2^{n+2}+2. $$

Entonces $$ \sum_{i=1}^{n+2}i2^i=\sum_{i=1}^{n+1}i2^i+(n+2)2^{n+2} $$ (así, utilizando la hipótesis de inducción) $$ =n2^{n+2}+2+(n+2)2^{n+2} $$ (así, simplificando) $$ =2n2^{n+2}+2^{n+3}+2=n2^{n+3}+2^{n+3}+2=(n+1)2^{n+3}+2. $$

Por tanto, por inducción, la fórmula es válida para todos los $n\geq 0$ .