Descripción de la imagen de una función

Question

Dejemos que $f:A\to B$ sea un mapa, entonces el mapa inducido por $f$ se define como $f^{\to}:\mathrm{P}(A)\to \mathrm{P}(B),\ X\mapsto f(X).$ Aquí $\mathrm{P}(A)$ denota el conjunto de potencias de $A.$ Sabemos que $f^{\to}$ satisface las siguientes propiedades:

La propiedad: $\bf 1) $ $f^{\to}(X)=\emptyset\Longleftrightarrow\ X=\emptyset;$

$\bf 2)$ $f^{\to}(X\cup Y)=f^{\to}(X)\cup f^{\to}(Y);$

$\bf 3)$ $f^{\to}(X\cap Y)\subset f^{\to}(X)\cap f^{\to}(Y).$

Cabe preguntarse si las propiedades anteriores pueden garantizar que una función $F:\mathrm{P}(A)\to \mathrm{P}(B)$ es inducido por algún mapa $f:A\to B.$ Es muy posible que haya algunos contraejemplos.

Pregunta: $\bf 1)$ Dada una función $F:\mathrm{P}(A)\to \mathrm{P}(B)$ satisfaciendo las propiedades anteriores, podemos encontrar siempre algún mapa $f:A\to B$ tal que $F=f^{\to}?$

$\bf 2)$ Si no es así, ¿podemos reforzar los requisitos de $F$ para garantizar que $F$ es inducido por algún mapa $f:A\to B?$

EDITAR: Ahora he encontrado las condiciones adecuadas para asegurar que $F$ es inducido por un mapa $f:A\to B:$

Condiciones: $\bf 1)$ $F(\emptyset)=\emptyset;$

$\bf 2)$ Si $(X_i)_{i\in I}$ es una familia de conjuntos en $\mathrm{P}(A),$ entonces $F\bigg(\displaystyle\bigcup_{i\in I}X_i\bigg)=\bigcup_{i\in I} f(X_i);$

$\bf 3)$ Si $X\in \mathrm{P}(A)$ es un singleton, entonces $F(X)\in \mathrm{P}(B)$ también es un singelton.

Tenemos el siguiente teroema:

Teorema 1: Si el mapa $F:\mathrm{P}(A)\to \mathrm{P}(B)$ satisface las tres condiciones anteriores, entonces existe un $\pmb{ unique}$ mapa $f:A\to B,$ tal que $F=f^{\to}.$

Answer 1

No. Defina F(X) = F para todo el subconjunto E de X.
Se espera que el lector distinga cuál es F, F.
Supongamos que f:E -> Y y que f' es el mapa inducido.
Sea x un punto de E. Entonces f'({x}) es un singleton.
Así que F /= f' si F es multipunto.
De nuevo, asegúrate de distinguir el doble uso de F de painday.

Un contraejemplo más sencillo es que F mapee
cada subconjunto de E al conjunto vacío.

Answer 2

Prueba del teorema 1: Desde $F$ satisface la última condición, ahora podemos definir una relación $f$ en el plató $A\times B$ como $$f:=\left\{(x,y)|\ x\in A,\ y\in F(\left\{x\right\})\right\}.$$ Podemos comprobar fácilmente que $f$ es en realidad un mapa entre $A$ y $B,$ desde $F(\left\{x\right\})$ es un singleton.

Tomemos ahora un conjunto arbitrario $X\in \mathrm{P}(A),$ entonces si $X=\emptyset,$ entonces, según la primera condición, tenemos $F(X)=\emptyset=f^{\to}(X).$ Si $X\neq\emptyset,$ entonces aplicando la segunda condición y la tercera condición obtenemos que $$F(X)=\displaystyle\bigcup_{x\in X} F(\left\{x\right\})=\bigcup_{x\in X} f^{\to}(\left\{x\right\})=f^{\to}(X).$$

Ahora vemos que $F=f^{\to}.$ Es fácil comprobar que el mapa $f$ es único.

Q.E.D.

Teorema 2: Dejemos que $F:\mathrm{P}(B)\to \mathrm{P}(A)$ sea un mapa, y si $F$ satisface las condiciones siguientes, entonces existe algún mapa $f:A\to B,$ tal que $F=f^{\leftarrow}.$

$\bf 1)$ $F(B)=A;$

$\bf 2)$ $x,y\in B,\ x\neq y\Longrightarrow F(\left\{x\right\})\cap F(\left\{y\right\})=\emptyset;$

$\bf 3)$ Si $(X_i)_{i\in I}$ es una familia de conjuntos en $\mathrm{P}(B),$ entonces $\displaystyle F\bigg(\bigcup_{i\in I}X_i\bigg)=\bigcup_{i\in I} F(X_i). $

Prueba: Primero definimos el conjunto $W:=\left\{x\in B|\ F(\left\{x\right\})\neq\emptyset\right\},$ y $V:=\left\{F(\left\{x\right\}|\ x\in W\right\},$ entonces aplicando a la primera y última condición obtenemos la relación $$A=\displaystyle\bigcup_{x\in B}F(\left\{x\right\})=\bigcup_{x\in W}F(\left\{x\right\})=\bigcup V.$$ Defina ahora una relación sobre el conjunto $A\times Z$ para ser $$p:=\left\{(x,y)|\ x\in A,\ y\in Z,\ x\in y\right\},$$ entonces podemos utilizar la segunda condición para comprobar que $p$ es en realidad un mapa entre $A$ y $Z.$

Definir un mapa $g:Z\to B,\ F(\left\{x\right\})\to x,$ entonces aplicando la segunda condición vemos que $g$ está bien definida.

Por último, dejemos que $f:=g\circ p,$ entonces podemos comprobar fácilmente que $F=f^{\leftarrow}.$

Q.E.D.