Significado de la palabra "axioma"

Question

Por lo general, se describe un axioma como una proposición considerada como evidentemente verdadera sin prueba.

Así, los axiomas son proposiciones que asumimos como verdaderas y los usamos en una teoría axiomática como premisas para inferir conclusiones, que se llaman "teoremas" de esta teoría.

Por ejemplo, podemos usar los axiomas de Peano para demostrar teoremas de aritmética.

Este es un significado de la palabra "axioma". Pero he reconocido que la palabra "axioma" también se usa en contextos bastante diferentes.

Por ejemplo, un grupo se define como una estructura algebraica que consiste en un conjunto $G$, una operación $G\times G\to G: (a, b)\mapsto ab$, un elemento $1\in G$ y una función de mapeo $G\to G: a\mapsto a^{-1}$ tal que se satisfacen las siguientes condiciones, los llamados axiomas de grupo:

1. $\forall a, b, c\in G.\ (ab)c=a(bc)$,

2. $\forall a\in G.\ 1a=a=a1$ y

3. $\forall a\in G.\ aa^{-1}=1=a^{-1}a$.

¿Por qué a estas condiciones (que una estructura algebraica debe cumplir para ser llamada un grupo) se les llama axiomas? ¿Qué tienen que ver estas condiciones con la palabra "axioma" en el sentido específico mencionado antes? Realmente estoy preguntando sobre este uso moderno de la palabra "axioma" en el argot matemático. Sería muy interesante ver cómo se desarrolló históricamente el uso moderno de la palabra "axioma" desde su significado original.

Ahora, permítame dar más detalles sobre por qué me parece que la palabra se está utilizando en dos significados diferentes:

Como hizo peter.petrov, se puede argumentar que la teoría de grupos trata sobre las conclusiones que se pueden extraer de los axiomas de grupo al igual que la aritmética trata sobre las conclusiones que se pueden extraer de los axiomas de Peano. Pero en mi opinión hay una gran diferencia: mientras que la aritmética realmente se trata de números naturales, la operación sucesor, la adición, la multiplicación y la relación "menor que", la teoría de grupos no se trata solo de elementos de grupo, la operación del grupo, el elemento de identidad y la función inversa. La teoría de grupos trata más bien sobre modelos de los axiomas de grupo. Así que: Los axiomas de la teoría de grupos no son los axiomas de grupo, los axiomas de la teoría de grupos son los axiomas de la teoría de conjuntos.

Los teoremas de aritmética pueden formalizarse como oraciones sobre la firma (también conocida como lenguaje) $\{0, s, +, \cdot\}$, mientras que los teoremas de teoría de grupos no siempre se pueden formalizar como oraciones sobre la firma $\{\cdot, 1, ^{-1}\}$. Déjeme dar un ejemplo: Un teorema típico de aritmética es el caso $n = 4$ del último teorema de Fermat. Se puede formalizar de la siguiente manera sobre la firma $\{0, s, +, \cdot\}$: $$\neg\exists x\exists y\exists z(x\not = 0\land y\not = 0\land z\not = 0\quad\land\quad x\cdot x\cdot x\cdot x + y\cdot y\cdot y\cdot y = z\cdot z\cdot z\cdot z).$$ Un teorema típico de teoría de grupos es el teorema de Lagrange, que establece que para cualquier grupo finito G, el orden de cada subgrupo H de G divide al orden de G. Creo que uno no puede formalizar este teorema como una oración sobre la firma "group teórica" $\{\cdot, 1, ^{-1}\}$; ¿o sí?

Answer 1

Axiomas

Originalmente, "axiomas" significaba "verdades evidentes por sí mismas", o al menos lo que parecía evidente. Pero la pregunta más importante es para qué se usan los axiomas. Desde el principio, la lógica en alguna forma ha sido una parte esencial del razonamiento, y razonamos sobre las cosas todo el tiempo. Entonces siempre que queramos transmitir nuestro razonamiento a otras personas, y queremos que acepten nuestro punto de vista, necesitamos presentar un argumento válido. ¿Qué es un argumento válido? Es una serie de inferencias o deducciones, cada una siguiendo lógicamente a las anteriores. Pero ningún argumento puede empezar sin hacer al menos una suposición. Si la otra persona acepta todas nuestras suposiciones además de todos los pasos deductivos que damos, también tendrían que aceptar la conclusión de nuestro argumento.

Por lo tanto, el objetivo al convencer a otra persona es hacer tan pocas y tan débiles suposiciones como podamos en nuestro argumento. A veces, hay suposiciones que la gran mayoría de las personas acepta, en cuyo caso podríamos llamarlas verdades evidentes por sí mismas. Esta es una fuente común de las suposiciones que usamos libremente en la argumentación diaria.

Pero a veces no queremos molestarnos con pequeños detalles del mundo real que podrían tener que tenerse en cuenta en verdades evidentes por sí mismas. En este caso, a menudo llegamos a formas idealizadas, que aún llamamos axiomas. Los axiomas que Euclides ideó para describir objetos geométricos son de este tipo. Aunque no hay manifestaciones físicas de líneas ideales (con grosor cero) y puntos ideales (con diámetro cero) y círculos ideales, lo que podemos derivar sobre líneas, puntos y círculos ideales es tan general que la ligera desviación de entidades físicas de estos objetos ideales no afecta la gran utilidad de los teoremas matemáticos sobre el mundo geométrico ideal. Todo lo que necesitamos recordar es que el mundo ideal es simplemente una aproximación del mundo real, y podemos aplicar eficazmente los teoremas (como el teorema de Pitágoras) a la realidad teniendo en cuenta esas desviaciones.

La aproximación es solo el primer paso del mundo real al abstracto. El objetivo de la abstracción es intentar aislar las estructuras cruciales de los detalles no tan importantes o de los datos específicos. El siguiente paso es considerar mundos gobernados por diferentes axiomas (suposiciones). Un ejemplo histórico conocido fue la exploración de mundos geométricos que satisfacen los axiomas de Euclides menos el postulado de las paralelas. En ese caso, hay formas de interpretar algunos de estos mundos en un mundo euclidiano. Pero el punto de establecer una colección de axiomas que describan un mundo es para que podamos argumentar completamente basados en el razonamiento deductivo sin apelar en absoluto a la naturaleza intuitiva de los axiomas (¡ya sea que lo sean o no)! Este es el significado moderno de "axioma" en matemáticas, más o menos.

Estructuras algebraicas

Ahora sobre tus preguntas acerca de la axiomatización de grupos, primero veamos de qué se trata realmente. Los axiomas para un grupo gobiernan un grupo único, un mundo en el que solo hay una operación binaria y cumple las propiedades especificadas por los axiomas. Dentro de cualquier mundo así, no puedes saber si es finito o no, por ejemplo, ni siquiera conocer el tamaño del mundo. Fuera del mundo, sin embargo, puedes, siempre que tu mundo exterior sea lo suficientemente fuerte como para hablar sobre mundos que satisfacen los axiomas de grupo.

En lógica, un mundo que satisface una colección de axiomas se llama un modelo. Comúnmente, trabajamos en un mundo más alto que satisface los axiomas de ZFC, en el cual podemos hablar sobre conjuntos de axiomas y conjuntos que son modelos para cierto conjunto de axiomas. Por eso podemos demostrar el teorema de Lagrange; no podemos expresarlo como una afirmación en el lenguaje de la teoría de grupos, como anotaste, lo que intuitivamente puedes entender que significa que si estás 'dentro' de un grupo ni siquiera tienes la capacidad de expresar el teorema, ni hablar de demostrarlo.

De hecho, hay muchos más teoremas que puedes demostrar en ZFC sobre grupos de lo que puedes hacer simplemente deduciendo solo usando los axiomas de grupo. Este es un fenómeno muy común en matemáticas, donde necesitas trabajar desde 'fuera' de todas las estructuras algebraicas de una cierta familia (como campos) para hacer algo significativo. La razón es que los axiomas que rigen la estructura algebraica son válidos para cada miembro de la familia que cumple con esos axiomas, por lo que naturalmente estás muy limitado en lo que puedes demostrar usando ellos.

Answer 2

Como señalas, hacer demostraciones formales a partir de los axiomas del grupo no es muy interesante: eso no nos permitirá demostrar (o incluso formular) la mayoría de los teoremas de lo que conocemos como teoría de grupos.

Entonces, ¿qué tienen que ver los axiomas del grupo con los axiomas para el razonamiento matemático general, como los axiomas de la Aritmética de Peano o la teoría de conjuntos? Me gustaría proponer que el eslabón perdido es que la teoría de modelos tiene cosas interesantes que decir sobre ambos tipos de axiomas.

La teoría de modelos se trata principalmente de la relación entre diferentes modelos para el mismo conjunto de axiomas. En eso se parece más al álgebra abstracta que lo que hace la teoría de la demostración; hacer teoría de modelos con los axiomas del grupo realmente se conecta con lo que consideramos como teoría de grupos.

Al mismo tiempo, resultados útiles pueden surgir al aplicar la teoría de modelos a los axiomas de una base propuesta para las matemáticas, como ZFC. Resultados model-theorícos como los teoremas de Löwenheim-Skolem son relevantes todo el tiempo cuando investigamos los límites de lo que se puede demostrar a partir de esos axiomas.

Para formular la teoría de modelos de manera que se aplique a estas situaciones, necesitamos una palabra para "las condiciones que definen qué es o no es un modelo". La palabra "axioma" se ha elegido para eso porque en el caso de una teoría fundamental esas condiciones deben ser (al menos en cierta medida) axiomas en el sentido tradicional.

Luego elegimos usar la misma palabra para las condiciones de ser un modelo cuando estamos hablando de algo menos fundamental como los grupos. Esa es la belleza y maldición de la abstracción: a menudo es más poderosa si aceptamos llamar a algo por un nombre que originalmente solo pertenecía a otra cosa a la que meramente se asemeja formalmente.

De esta manera, lo que quizás en sí mismo debería haberse llamado las "condiciones de grupo" naturalmente se convierten en "axiomas de grupo _cuando estamos usando métodos de teoría de modelos para estudiar grupos. Y una vez que eso sucede, tiene sentido reducir la confusión al seguir llamándolos "axiomas" cuando estamos haciendo teoría de grupos con métodos que son específicos para grupos._

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(Repetir lo anterior para todos los demás tipos de estructuras algebraicas, por supuesto).

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Answer 3

Resulta que encontramos "interesante" explorar las conclusiones que pueden derivarse lógicamente de un conjunto de declaraciones formales. Podría ser "interesante" por diferentes razones como:

• tal vez las declaraciones sean todas verdaderas para un modelo "interesante" específico (como aritmética o teoría de conjuntos) que queremos estudiar

• tal vez las declaraciones sean todas verdaderas para varias estructuras que no son todas necesariamente interesantes individualmente pero son "comunes" en diferentes áreas del conocimiento (como grupos/anillos/conjuntos ordenados...)

Cada vez que queremos explorar las conclusiones que se derivan de un conjunto de declaraciones solemos llamarlas "axiomas".

Answer 4

¿Por qué estas condiciones que una estructura algebraica debe satisfacer para ser llamada grupo se llaman axiomas? ¿Qué tienen que ver estas condiciones con la palabra "axioma" en el sentido especificado anteriormente?

Es lo mismo, tampoco se prueban, se asume que son verdaderos en la teoría respectiva que estás mirando (teoría de grupos en tu caso). Por lo tanto, también se llaman axiomas. Los axiomas son los bloques de construcción más básicos de una teoría dada. Los axiomas de Peano se refieren a la aritmética (o teoría de números), los axiomas que mencionaste se refieren a la teoría de grupos.

Answer 5

El artículo adjunto ('¿Qué es Matemáticas - una vista general') habla mucho sobre los "Axiomas". Resumen: Las matemáticas se basan en el razonamiento deductivo aunque la primera experiencia del hombre con las matemáticas fue de naturaleza inductiva. Esto significa que la base de las matemáticas es el estudio de algunas nociones lógicas y filosóficas. Explicamos en términos simples que el sistema deductivo involucra cuatro cosas: (1) Un conjunto de términos primitivos indefinidos; (2) Definiciones desarrolladas a partir de los términos indefinidos; (3) Axiomas o postulados; (4) Teoremas y sus demostraciones. También incluimos algunos comentarios históricos sobre la naturaleza de las matemáticas.

El artículo completo se puede descargar de forma gratuita desde el enlace: http://www.publicscienceframework.org/journal/allissues/ijmcs.html?issueId=70400103