¿Qué significa para una función $u : D \to \mathbb{C}$ para ser armónico, $D \subset \mathbb{R^2}$ ?

Question

En la página 167 de "Complex Made Simple" de David Ullrich, define $u : D \to \mathbb{C}$ para ser armónico, $D \subset \mathbb{R^2}$ para que sea armónico en $D$ si es dos veces continuamente diferenciable real y $u_{xx} = u_{yy}$ .

Desde $\mathbb{R^2} = \mathbb{C}$ ¿Significa esto que $u$ es una función de $D$ a $\mathbb{R^2}$ y así $u(x,y) = (f(x,y),g(x,y))$ ? Entonces, ¿qué hace $u_{xx}$ para una función de valor vectorial?

Answer 1

Si $u=(f,g)$ entonces $u_{xx} = (f_{xx},g_{xx})$ . Es decir, hacerlo por componentes.