Leí esta prueba en un libro:
Demostrar que si $a, b \in G$ entonces $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ .
Prueba: Sea $a,b \in G$ . Entonces $abb^{-1}a^{-1} = aea^{-1} = aa^{-1} = e$ . También, $b^{-1}a^{-1}ab = e$ . Porque los inversos son únicos $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ sigue.
No entiendo muy bien esta prueba; no sigo del todo la lógica. ¿Dónde está la conexión entre $(ab)^{-1}$ y $b^{-1}a^{-1}$ ?
El argumento es esencialmente el siguiente: Si $x$ satisface $$(ab)\cdot x=e$$ entonces $x$ es la inversa de $ab$ . Esto es esencialmente la definición de un inverso - y, por las propiedades de un grupo, define un único $x$ . La prueba dice:
Supongamos que $x=b^{-1}a^{-1}$ . Entonces $$(ab)\cdot x = abb^{-1}a^{-1}=aa^{-1}=e$$ por lo que $x=b^{-1}a^{-1}$ es la inversa de $(ab)$ .
Es decir, la prueba "adivina" que $b^{-1}a^{-1}$ es la inversa de $ab$ y luego verifica que esto es correcto demostrando que este $x$ se comporta como la inversa de $(ab)$ debería.
Le be $a,b\in G$ . Si $ab\cdot x=x\cdot ab=e$ entonces $x$ es la inversa de $ab$ , denotado por casualmente $(ab)^{-1},$ y esta inversa es única.
Así que, mira que
$$(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aea^{-1}=aa^{-1}=e.$$
De la misma manera,
$$(b^{-1}a^{-1})(ab)=e.$$
Como la inversa es única, entonces $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.$
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