Este es un problema interesante que encontré en un viejo cuaderno mío:
Dado un irreducible $f\in\mathbb{Q}[X]$ ¿hay una manera de determinar si la secuencia $(p_n)_{n=0}^{\infty}\subset \mathbb{Q}[X]$ dado por: $$p_0=X$$ $$p_{n+1}=p_n^2-2$$ es periódico módulo $f$ sin tener que determinar primero las raíces de $f$ ?
Sólo he encontrado una forma que implica encontrar las raíces exactas y eso es casi imposible para $\deg f\ge 5$ .
La fórmula directa para $p_n$ puede ser útil: $$p_n=\left(\frac X2+\frac12\sqrt{X^2-4}\right)^{2^n}+\left(\frac{X}{2}-\frac12\sqrt{X^2-4}\right)^{2^n}$$
Mi método utilizando las raíces
Para quien esté interesado, este es mi método, que se basa en encontrar las raíces exactas de $f$ .
Dado un polinomio irreducible $f\in\mathbb{Q}[X]$ con $f\neq X$ tal que $(p_n)_{n=1}^{\infty}$ es periódica con periodo $d$ , dejemos que $\alpha$ sea una raíz de $f$ y definir $(a_{n})_{n=1}^{\infty}$ por: $$a_n=p_n(\alpha)$$ También podemos definir $(a_{n})_{n=1}^{\infty}$ por: $$a_0=\alpha$$ $$a_{n+1}=a_n^2-2$$ y si tomamos $\beta$ con $\alpha=\beta+\beta^{-1}$ entonces se puede demostrar fácilmente por inducción que $$a_n=\beta^{2^n}+\beta^{-2^n}$$ Supongamos que $|\beta|\neq 1$ . Si $|\beta|<1$ , intercambio $\beta$ y $\beta^{-1}$ para que podamos estar seguros de que $|\beta|>1$ y $|\beta^{-1}|<1$ . De ello se desprende que: $$|\alpha|=\lim_{k\to\infty} |a_{kd}|=\lim_{k\to\infty}|\beta^{2^{kd}}+\beta^{-2^{kd}}|=\infty$$ Lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $\beta=e^{i\gamma}$ para algunos $\gamma\in\mathbb{R}$ y: $$a_n=e^{i\gamma n}+e^{-i\gamma n}=2\cos(\gamma n)$$ Que sólo es periódica si $\gamma$ es un múltiplo racional de $2\pi$ . La única $f$ que no hemos comprobado es $f=X$ pero es fácil ver que $p_n\equiv 2\pmod X$ para todos $n$ . Así que $(p_n)_{n=1}^{\infty}$ sólo puede ser periódica módulo $f$ cuando todas las raíces de $f$ son de la forma: $$2\cos\left(\frac{2\pi p}{q}\right)$$ para algunos $p/q\in\mathbb{Q}$ .
Por otro lado, si para algunos $p/q\in\mathbb{Q}$ tomamos $$\alpha:=2\cos\left(\frac{2\pi p}{q}\right)$$ Entonces podemos definir $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ como antes y mostrar que es periódica, digamos con punto $d$ . Para todos los $k,m$ ahora tenemos: $$p_k(\alpha)=p_{k+md}(\alpha)\implies (p_{k+md}-p_k)(\alpha)=0$$ y ya que para $m\neq 0$ tenemos $\deg p_k\neq \deg p_{k+md}$ se deduce que $f^{\alpha}_{\mathbb{Q}}\mid p_{k+md}-p_k$ .
Esto implica que todos estos $\alpha$ son algebraicas sobre $\mathbb{Q}$ y si un irreducible mónico $f\in\mathbb{Q}[X]$ tiene una sola raíz de la forma $$2\cos\left(\frac{2\pi p}{q}\right)$$ entonces todas sus raíces son de esta forma (porque es una unidad veces $f^{\alpha}_{\mathbb{Q}}$ la secuencia es periódica módulo $f^\alpha_{\mathbb{Q}}$ y sólo puede ser periódica si todas las raíces son de esta forma.
