¿Cómo puede demostrar que $1+ 5+ 9 + \cdots +(4n-3) = 2n^{2} - n$ sin utilizar la inducción?

Question

Utilizando la inducción matemática, he demostrado que

$$1+ 5+ 9 + \cdots +(4n-3) = 2n^{2} - n$$

para cada número entero $n > 0$ .

Me gustaría saber si hay otra forma de probar este resultado sin utilizar PMI. ¿Existe alguna solución geométrica para demostrar este problema? Además, ¿hay ejemplos de problemas en los que sólo PMI es nuestra única opción?

Aquí está la manera en que he resuelto esto usando PMI.

Caso base: desde $1 = 2 · 1^2 1$ la fórmula es válida para $n = 1$ .

Suponiendo que el se cumple para algún número entero $k 1$ Eso es,

$$1 + 5 + 9 + \dots + (4k 3) = 2k^2 k$$

Demuestro que

$$1 + 5 + 9 + \dots + [4(k + 1) 3] = 2(k + 1)^2 (k + 1).$$

Ahora si uso hipótesis observo.

$$ \begin{align} 1 + 5 + 9 + \dots + [4(k + 1) 3] & = [1 + 5 + 9 + \dots + (4k 3)] + 4(k + 1) 3 \\ & = (2k^2 k) + (4k + 1) \\ & = 2k^2 + 3k + 1 \\ & = 2(k + 1)^2 (k + 1) \end{align} $$

$\diamond$

Answer 1

¡Sigue el arco iris!

$$ \Large \color{PaleVioletRed}1 + \color{DarkViolet}5 + \color{DodgerBlue}9 + \dots + \color{LightCoral}{(4n-3)} = n(2n-1) = 2n^2-n$$

Answer 2

A continuación mostramos cómo dar una interpretación rigurosa de algunas de las otras respuestas de "prueba por imágenes". En concreto, describimos cómo una $2$ -forma dimensional de telescopio nos permite ver una secuencia de rectángulos como si se construyeran capa a capa a partir de diferencias sucesivas de rectángulos anteriores, como si los construyera un $2$ -Impresora D. Además, la aplicación de una regla de producto simple para las diferencias nos permite simplificar estas diferencias en una forma más susceptible de visualización geométrica. De este modo se obtiene una mecánico de generar tales pruebas pictóricas. Además, proporciona una interpretación rigurosa de dichas pruebas utilizando técnicas estándar para sumas telescópicas. Por último, mencionamos una analogía con el cálculo: dicha suma telescópica es un análogo discreto del Teorema Fundamental del Cálculo (pero no es necesario saber cálculo para entender el análogo discreto mucho más sencillo que describimos a continuación).

Sea $\,f_n,\, g_n\,$ sean secuencias de naturales y $\bar R_n$ una secuencia de $f_n\times g_n$ rectángulos de área $ R_n = f_n g_n.$ A continuación recordamos la regla del producto para el operador diferencia $\,\Delta h_n := h_{n+1} - h_n$ entonces aplicamos la regla al caso especial $\,f_n = n,\ g_n = 2n\!-\!1\,$ en la foto de Lynn de abajo.

$$ \large \color{PaleVioletRed}1 + \color{DarkViolet}5 + \color{DodgerBlue}9 + \dots + \color{LightCoral}{(4n-3)}\, =\, n(2n-1) = 2n^2-n$$

Nota: a continuación damos a los objetos relacionados el mismo color ( no relacionado con la coloración anterior).

$ \begin{eqnarray}{\bf Product\ Rule}\qquad\ \: &&\Delta(f_n g_n ) &=&\ f_{n+1}\ \ \ \Delta g_n &+&\qquad\ \Delta f_n\cdot g_n\\[.3em] {\bf Proof}\quad\ \ \,f_{n+1}\ g_{n+1}\ \ &-&\ \ f_n\ g_n &=&\ f_{n+1}(g_{n+1}\!-g_n) &+&\, (f_{n+1}\!-f_n)\, g_n \\[.5em] {\rm e.g.}\quad\, \smash[b]{\underbrace{(n\!+\!1)(2n\!+\!1)}_{\large R_{\,\Large{n+1}}}}&-&\smash[b]{\underbrace{n(2n\!-\!1)}_{\large R_{\,\Large{n}}}} &=&\ \smash[b]{\underbrace{(\color{#c00}{n\!+\!1})\cdot 2}_{\large \rm arch\ \color{#c00}{sides}}} &+&\quad\ \smash[b]{\underbrace{1\,\cdot\, (\color{#0a0}{2n\!-\!1})}_{\large\rm arch\ \color{#0a0}{top}}}\ \ \ {\rm in\ picture}\\[.2em] \phantom{} \end{eqnarray}$

Por tanto, para incrementar un $\,n\!\times\! (2n\!-\!1)$ rectángulo $\bar R_n$ a su sucesor $\bar R_{n+1}$ de tamaño $\,(n\!+\!1)\!\times\!(2n\!+\!1)$ podemos añadir $\,\color{#c00}{n\!+\!1}$ cuadrados en cada $\rm\color{#c00}{side}$ de $\bar R_n$ y $\,\color{#0a0}{2n\!-\!1}\,$ en $\rm\color{#0a0}{top}$ de $\bar R_n.\,$ Por ejemplo $\,n=3.\,$ En la imagen, para aumentar el $3\times 5$ azul $\bar R_3$ a la $4\times7$ verde $\bar R_4$ rectángulo, la regla dice que podemos añadir $\,\color{#c00}{n\!+\!1} = 4$ cuadrados verdes a cada lado del azul $\bar R_3,\,$ y $\color{#0a0}{2n\!-\!1} = 5$ cuadrados verdes sobre azules $\bar R_3$ dando lugar al $\,7\times 4$ arco verde - que constituye la diferencia (de área) entre el verde $4\times7\ (\bar R_4)$ y azul $3\times 5\ (\bar R_3)$ rectángulos. Así, el $\rm\color{#c00}{sides}$ y $\rm\color{#0a0}{top}$ del arco son precisamente los sumandos en la regla del producto, por lo que la regla muestra cómo construir diferencias sucesivas de $2$ -D rectángulos $f_n\times g_n$ a través de las diferencias $\,\Delta f_n,\, \Delta g_n$ de su $1$ -Lados D.

De este modo, podemos ver cada rectángulo como si se construyera capa a capa a partir del diferencias (= arcos) de rectángulos anteriores sucesivos (los arcos coloreados por separado en la imagen). Dinámicamente, podemos pensar en un $2$ -D impresora que construye el arco rectangular capa por capa (similar a una $3$ -Impresora D).

La igualdad buscada se obtiene calculando el $n(2n\!-\!1)$ área del rectángulo $\bar R_n$ una segunda forma, utilizando dicha construcción inductiva capa por capa de $\bar R_n.$ Según la regla, los arcos de diferencia tienen área $\,R_{k+1}\!-R_k = 2(\color{#c00}{k\!+\!1)} + \color{#0a0}{2k\!-\!1} = 4k\!+\!1.\,$ Añadir estos al área inicial $= 1_{\phantom{\frac{i}i}}\!\!\!$ de $\,1\!\times\! 1$ $\,\bar R_1$

$\qquad\qquad\qquad\begin{eqnarray} {\underbrace{1}_{\color{#c0f}{\large R_{\Large1}}} +\!\!\! \underbrace{5}_{\large{\color{#48f}{R_{\Large 2}}-\color{#c0f}{R_{\Large 1}}}}\!\! +\! \underbrace{9}_{\large{R_{\Large 3}-\color{#48f}{R_{\Large 2}}}}\!\! +\, \cdots + \!\!\underbrace{4n\!-\!3}_{\large{R_{\Large n}-R_{\Large{n-1}}}} \!=\, \smash{\sum_{\large k\,=\,0}^{\large{{n-1}}}\,(4k\!+\!1)}}\\[-.2em] \end{eqnarray}$

es un valor igual para el área de $\,n\!\times\!(2n\!-\!1)\,$ rectángulo $\,\bar R_n$ . Esta es la igualdad buscada.

El LHS anterior suma $ R_n$ ya que es un telescópico suma así $\rm\color{#c0f}{successive}\ \color{#48f}{terms}$ se anulan, lo que queda más claro si reordenamos la suma reescribiendo $\,R_{k+1}-R_k\,$ como $\ {-}R_k\! + R_{k+1}$ cediendo

$\qquad \begin{eqnarray}{\underbrace{\color{#c0f}{R_1}\! + (\color{#c0f}{-R_1}}_{\large =\ 0}\! + \underbrace{\color{#48f}{R_2}) + (\color{#48f}{-R_2}}_{\large =\ 0}\! +\underbrace{ R_3) + (-R_3}_{\large =\ 0}\! +\cdots +\underbrace{R_{n-1}) +(-R_{n-1}}_{\large =\ 0}\! + R_n)\, =\, R_n}\\[-.1em] \end{eqnarray} $

Aquí radica el uso oculto de inducción . Aunque tal cancelación telescópica pueda parecer "obvia", requiere una prueba rigurosa. Pero el paso inductivo es fácil: añadiendo $\, -R_n\! + R_{n+1}$ a ambos lados de la afirmación anterior $P(n)\,$ produce $P(n\!+\!1)\ $ así que $\:P(n)\,\Rightarrow\,P(n\!+\!1)\,$ [para ser completamente rigurosos deberíamos eliminar también las elipses, sustituyéndolas por un operador sumatorio más preciso].

Muchas pruebas inductivas tienen una forma telescópica muy natural, y expresarlas en este formato conduce a menudo a una gran simplificación. Se pueden encontrar muchas ejemplos de telescopia en mis respuestas anteriores (tanto en forma aditiva como multiplicativa).

Por último, mencionamos brevemente la analogía con el cálculo. Las observaciones anteriores sobre las sumas telescópicas muestran que $\,f(n)\,$ es la suma de sus diferencias. Esta es la diferencia análogo del Teorema Fundamental de Diferencial Cálculo, es decir, tenemos los teoremas análogos

$$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1}\ \Delta_k f(k)\ \, &=&\ f(n)-f(0)\\[.2em] \int_0^x\! D_t f(t)\, dt &=&\ f(x) - f(0) \end{eqnarray}$$

Esto no es más que una pequeña parte del cálculo de diferencias finitas, un análogo discreto del cálculo diferencial. Muchas cosas conocidas del cálculo tienen análogos diferenciales discretos, y sus demostraciones suelen ser mucho más sencillas (como la regla del producto diferencial anterior). Por ejemplo, para verificar que $F(n) = \sum_{k=0}^{n-1} f(k)$ it basta con demostrar que tienen la misma diferencia y la misma condición inicial, es decir $\,F(n\!+\!1)-F(n) = f(n)\,$ y $F(0) = 0$ . Cuando, como en el OP, ambos $F$ y $f$ son polinomios, esto se reduce simplemente a comprobar la igualdad de dos polinomios, lo que puede hacerse de forma puramente mecánica (por lo que no se necesitan intuiciones ni analogías visuales). Por ejemplo, para la OP tenemos $\,F(n) = n(2n\!-\!1)$ por lo que la prueba se reduce a verificar $\,F(n\!+\!1)-F(n) = 4n\!+1,\,$ y $\,F(n)= 0,\,$ que es aritmética polinómica trivial - tan trivial que podemos programar calculadoras para realizar todas esas pruebas. De hecho, existen algoritmos generales de suma debidos a Karr, Gosper y otros que son análogos discretos de los algoritmos de integración de Risch-Bronstein implementados en sistemas de álgebra computacional como Macsyma, Maple y Mathematica.

Por lo tanto, estas pruebas de cálculo de diferencias siguen siendo completamente mecánicas incluso para polinomios de mayor grado, pero la generalización de las pruebas basadas en imágenes geométricas a dimensiones más altas resultará mucho más difícil porque normalmente carecemos de intuición (del mundo real) para espacios de alta dimensión. Así pues, el cálculo diferencial sirve para algebraizar estas demostraciones geométricas en un "cálculo" tan mecánico que puede ser realizado por un ordenador, liberando nuestra intuición para trabajar en asuntos menos triviales.

Answer 3

$$\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {4k - 3} \right)} = 4\sum\limits_{k = 1}^n k - 3 \cdot \sum\limits_{k = 1}^n 1 = 4\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 3 \cdot n = 2n^2 - n$$

Answer 4

Sugerencia :

Sea $$\begin{alignat}{10}S_n&=&1+&&5+&&9+&\cdots+&(4n-3)\\&=&(4n-3)+&&(4n-7)+&&(4n-11)+&\cdots+&1.\end{alignat}$$ Así $$2S_n=(4n-2)+(4n-2)+(4n-2)+\cdots+(4n-2).$$

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Más información en :

Como se ha señalado en los comentarios, la prueba anterior se basa en la inducción matemática. Así que quiero explicar qué papel desempeña la inducción en la demostración.

Para un número determinado $n$ , digamos $10000$ la prueba es válida, aunque implique elipsis, ya que se pueden escribir todos los números omitidos.
Ahora afirmamos que la proposición es cierta para todos los números naturales. Esto sería difícil de demostrar sin utilizar la inducción matemática, aunque no tengo ni idea de si esto es posible. Intuitivamente, podemos ver que esta demostración es válida para todos los números naturales, pero ¿cómo demostramos que $$\mathbb{Z}_+=\{n\in\mathbb{N}:S_n=2n^2-n\}?$$

Se puede empezar por Axiomas de Peano o axioma del infinito u otros supuestos equivalentes, y demostrar que el conjunto del lado derecho es $\mathbb{Z}_+$ fácilmente.

No creo que exista ninguna proposición que podamos demostrar sin inducción matemática que es cierta para todos los números naturales, ya que cuando hablamos de números naturales, hablamos de están utilizando inducción matemática.

Answer 5

Se puede utilizar el "truco" atribuido a Gauss para hallar la suma de las primeras $n$ enteros. Llama a tu suma $S_n$ y considera esto.

$$\begin{align} &\quad S_n=+1&+ 5 +& \quad\cdots&+(4n-7)&+(4n-3)\\ +&\quad S_n=+(4n-3)&+(4n-7)+&\quad\cdots&+5&+1 \\ &\hline\\ \quad&2S_n\quad =+\underbrace{(4n-2)}_{1^{st}} &+\underbrace{(4n-2)}_{2^{nd} }+&\quad\underbrace{\cdots}_{3^{rd}\mbox{ to }{(n-2)}^{nd}}&+\underbrace{(4n-2)}_{(n-1)^{st}}&+\underbrace{(4n-2)}_{n^{th}}\\\end{align}$$ Así $2S_n$ es igual a $n(4n-2)$ y $S_n=2n^2-n$ .