Vida útil restante para tiempos de vida distribuidos por Weibull

Question

Supongamos que modelamos los tiempos de vida de los componentes con una distribución Weibull de dos parámetros. Con $\alpha$ como parámetro de escala y $\beta$ como parámetro de forma, se sabe que el tiempo medio de supervivencia del componente es: $$E(t) = \int^{\infty}_{0}S(t)dt = \int^{\infty}_{0}e^{-(\frac{t}{\alpha})^\beta}dt = \alpha \Gamma(\frac{1}{\beta}+1)$$ donde $\Gamma$ es la función Gamma y la vida útil restante $m$ de un componente envejecido $t_0$ es: $$m(t_0)=\frac{\int^{\infty}_{t_0}S(t)dt}{S(t_0)}=\frac{E(t) - \int^{t_0}_{0}S(t)dt}{S(t_0)}$$

Mi pregunta es: ¿por qué el tiempo útil restante no es simplemente $m(t_0)=E(t)-t_0$ ?

Answer 1

Toda la información sobre los tiempos de vida (con distribución Weibull o no) está contenida en la función de supervivencia. Así que empecemos por derivar la función de supervivencia dado el tema es la edad $t_0$ .

Dejemos que $T$ denotan la vida (aleatoria) del sujeto. Recordemos que la función de supervivencia $S(t)$ es en realidad una notación para $P(T > t)$ . Nos gustaría que la función de supervivencia para $T | T > t_0$ es decir, queremos una fórmula para $P(T > t \;|\; T > t_0)$ donde $t > t_0$

$$ \begin{align*} S(t | T > t_0) = P(T > t \;|\; T > t_0) &= \frac{P( T > t \;\text{and}\; T > t_0)}{P(T > t_0)}\\ &= \frac{P( T > t)}{P(T > t_0)}\\ &=\frac{S(t)}{S(t_0)} \end{align*} $$

El numerador se reduce en la línea 2 porque si $T > t$ entonces $T > t_0$ porque $t > t_0$ .

A partir de aquí, si quisiéramos el esperado vida condicional (también conocida como vida restante), simplemente tomamos la integral de $t_0$ a $\inf$ que es lo que su fórmula para $m(t_0)$ es.