Si he entendido bien tu pregunta, quieres simplificar el sistema ODE utilizando tu conocimiento de la diferencia de escala temporal asociada a los procesos descritos por el sistema ODE. En particular, entiendo que supones que la dinámica de reacción "interna $A + B \leftrightharpoons^{k_+}_{k_-} C$ en $\Omega$ ocurren en una escala de tiempo mucho más rápida que la difusión o fuga de $A,B,C$ a través de la membrana $\delta \Omega$ es decir $A \overset{k}{\to} \emptyset $ . Esto significaría que la tasa asociada a la fuga a través de la membrana, $k$ es mucho menor que las dos velocidades de reacción $k_{\pm}$ es decir $k \ll k_{\pm}$ . Por comodidad, reescalaré el tiempo $t$ con $k_+$ introduzcan los coeficientes de la tasa $r=\frac{k_-}{k_+}$ y $\varepsilon = \frac{k}{k_+}$ , dando lugar al sistema \begin {align} \frac { \text {d} a}{ \text {d} t} &= r c - a b &- \varepsilon a, \\ \frac { \text {d} b}{ \text {d} t} &= r c - a b &- \varepsilon b, \\ \frac { \text {d} c}{ \text {d} t} &= -(r c - a b) &- \varepsilon c. \end {align} Obsérvese que como suponemos que $k \ll k_{\pm}$ tenemos que $\varepsilon \ll 1$ .
Utilizando la hipótesis del cuasi-estado estacionario, establecemos $\varepsilon$ a cero y buscar el equilibrio del sistema reducido. Estos vienen dados por las soluciones de la ecuación \begin {Ecuación} r c = a b. \end {Ecuación} Para estudiar el efecto de la difusión lenta a través de la membrana, lo mejor es introducir un variable de tiempo lento $\tau = \epsilon t$ . Si escribimos el sistema original en términos de esta variable de tiempo lento, obtenemos \begin {align} \varepsilon \frac { \text {d} a}{ \text {d} \tau } &= r c - a b &- \varepsilon a, \\ \varepsilon \frac { \text {d} b}{ \text {d} \tau } &= r c - a b &- \varepsilon b, \\ \varepsilon \frac { \text {d} c}{ \text {d} \tau } &= -(r c - a b) &- \varepsilon c. \end {align} De nuevo, se ve que la configuración $\varepsilon$ a cero reduce el sistema a una ecuación de estado estacionario, la que ya hemos obtenido: $r c = a b$ . Pero lo que es más importante: si suponemos que estamos en (o muy cerca de) el conjunto de equilibrios dados por $r c = a b$ El sistema resultante (en tiempo lento) $\tau$ ) se reduce a \begin {align} \frac { \text {d} a}{ \text {d} \tau } &= - a, \\ \frac { \text {d} b}{ \text {d} \tau } &= - b, \\ \frac { \text {d} c}{ \text {d} \tau } &= - c. \end {align} La siguiente observación es que el conjunto de equilibrios dado por $r c = a b$ es estable . Esto se puede demostrar linealizando el sistema y determinando los signos de los valores propios del sistema resultante $3 \times 3$ pero también es bastante obvio a partir del modelo subyacente, que no tendría realmente sentido si el equilibrio de la reacción dentro de $\Omega$ no sería estable. De todos modos, esto significa que cuando el sistema ha alcanzado un equilibrio de reacción interna en tiempo "rápido $t$ todos los componentes comienzan a filtrarse lentamente a través de la dinámica exponencial descrita por el tiempo lento ( $\tau$ ). Esto generalmente llevaría el estado del sistema lentamente fuera del equilibrio de la reacción interna $r c = a b$ . Sin embargo, si esta perturbación crece demasiado, la dinámica de reacción interna rápida "autocorrige" el sistema hacia el equilibrio de reacción interna de nuevo. En resumen: para cualquier concentración inicial $a(0),b(0),c(0)$ el sistema alcanza rápidamente su equilibrio de reacción "rápida", donde $r c = a b$ y luego la concentración de cada componente disminuye lentamente, sin dejar de obedecer la relación $r c = a b$ (hasta pequeñas perturbaciones).
Adición : El sistema puede analizarse de la siguiente manera: observe que \begin {Ecuación} \frac { \text {d} a}{ \text {d} t} + \frac { \text {d} c}{ \text {d} t} = - \varepsilon (a + c), \end {Ecuación} así que $a+c$ decae lentamente, y puede resolverse explícitamente como \begin {ecuación} a + c = (a_0 + c_0)\N-, e^{- \varepsilon t}. \end {ecuación} Asimismo, tenemos $b + c = (b_0 + c_0)\,e^{-\varepsilon t}$ . Por lo tanto, podemos expresar ambos $a$ y $b$ en términos de $c$ y obtener una única EDO para $c$ : \begin {Ecuación} \frac { \text {d} c}{ \text {d} t} = -(r+ \varepsilon ) c + \left ((a_0+c_0) e^{- \varepsilon t} - c \right ) \left ((b_0+c_0) e^{- \varepsilon t} - c \right ). \end {Ecuación} En teoría se puede resolver esta EDO explícitamente, pero la solución es bastante desagradable y no da mucha información. En su lugar, podemos emplear la llamada método de escalas múltiples .
Esto funciona de la siguiente manera. El sistema y nuestro análisis anterior dan lugar a la idea de que $a$ , $b$ y $c$ puede describirse de forma más eficiente utilizando dos escalas de tiempo, $t$ y $\varepsilon t = \tau$ (las escalas de tiempo "rápida" y "lenta"). La idea es tratar ahora esas dos escalas de tiempo como si fueran independientes . Los más pequeños $\varepsilon$ es, cuanto más sentido tiene esta idea, más se separan las escalas de tiempo. Así, escribimos $c(t)$ en función de $t$ y $\tau$ : \begin {Ecuación} c(t) = C(t, \varepsilon t) = C(t, \tau ). \end {ecuación} Escribir $c$ de tal manera tiene impacto en la derivada del tiempo también. Utilizando la regla de la cadena, vemos que \begin {Ecuación} \frac { \text {d} c}{ \text {d} t} = \frac { \text {d}}{ \text {d} t} C(t, \tau (t)) = \frac { \partial C}{ \partial t} + \frac { \text {d} \tau }{ \text {d} t} \frac { \partial C}{ \partial \tau } = \frac { \partial C}{ \partial t} + \varepsilon \frac { \partial C}{ \partial \tau }. \end {ecuación} Al principio, esto parece bastante contraproducente: ¡empezamos con una EDO y ahora tenemos una EDP entre manos! Sin embargo, esto nos facilita la vida. Podemos sustituirla por la anterior y obtener el orden principal (es decir, establecer $\varepsilon = 0$ ): \begin {Ecuación} \frac { \partial C}{ \partial t} = -r C + \left ((a_0+c_0) e^{- \tau } - C \right ) \left ((b_0+c_0) e^{- \tau } - C \right ). \end {equation} Esta ecuación diferencial en $t$ tiene una solución estándar de la forma \begin {Ecuación} C(t, \tau ) = \frac {1}{2}A + \frac {1}{2} \sqrt {B-A^2} \tan\left [ \frac {1}{2} \sqrt {B-A^2} (t+ \delta ( \tau )) \right ], \end {Ecuación} con \begin {align} A &= r+(a_0+b_0+2c_0)e^{- \tau }, \\ B &= 4 (a_0+c_0)(b_0+c_0)e^{-2 \tau }. \end {align} Entonces, hasta una función desconocida $\delta(\tau)$ hemos encontrado nuestra solución de primer orden para $c$ y en extensión para $a$ y $b$ .
Entonces, cómo encontrar esto $\delta(\tau)$ ? Esto puede hacerse utilizando una hipótesis más detallada para $c$ , a saber \begin {Edición} c(t) = C_0(t, \tau ) + \varepsilon C_1(t, \tau ). \end {ecuación} Se puede hacer exactamente lo mismo que en el caso anterior, pero ahora los términos de orden $\varepsilon$ te da una nueva ODE para $C_1$ . Se puede repetir este proceso hasta el infinito, pero las ecuaciones a resolver serán más complicadas a medida que se avanza.
En conclusión: es mucho más fácil atenerse a la descripción algo heurística que he dado antes. Utilizando las identidades exactas $a + c = (a_0+c_0)e^{-\tau}$ y $b+c = (b_0 + c_0)e^{-\tau}$ puede seguir la evolución de $a,b,c$ a lo largo del conjunto $r c = a b$ resolviendo $r c = ((a_0+c_0)e^{-\tau} - c)((b_0+c_0)e^{-\tau} - c)$ para $c$ en función de $\tau$ donde además $r c_0 = a_0 b_0$ .
Como se menciona en los comentarios: Recomiendo encarecidamente a C Kuehn, Dinámica de escalas temporales múltiples , Springer, 2015, ISBN 978-3-319-12315-8 para más detalles sobre esta técnica y otros enfoques algo equivalentes.
