Integral de una función que da lugar a una función hipergeométrica

Question

Tenga en cuenta que $n$ es una constante arbitraria. $$ \int(\sin^n(x))dx $$ Empiezo usando la obvia integración por partes y consigo: $$ \frac{d}{dx}[x\sin^n(x)] = \sin^n(x) + nx\sin^{n-1}(x)\cos(x) $$

$$ x\sin(x) = \int(\sin^n(x))dx + n \int(x\sin^{n-1}(x)\cos(x))dx $$

$$ \int(\sin^n(x))dx = x\sin(x) - n \int(x\sin^{n-1}(x)\cos(x))dx $$ Traté de integrar usando los conocimientos que conozco pero no llegué a ninguna parte rápidamente, revisé wolframalpha esperando que fuera algo obvio pero obtuve $$ n \int(x\sin^{n-1}(x)\cos(x))dx \\ = n\left(\frac{\sin^{n}(x)(x+\cot(x)\cdot{}_2F_{1}\left(\frac{1}{2},\frac{1-n}{2};\frac{3}{2};\cos^{2}(x)\right)\sin^2(x)^{\frac{1}{2} - \frac{n}{2}}}{n}\right)+c $$

que he simplificado a $$ = x\sin^n(x) + \sin^{n-1}(x) \sin^{1-n}(x)\cos(x) \cdot {}_2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1-n}{2};\frac{3}{2};\cos^2(x)\right)+c $$

$$ =x\sin^n(x) + \cos(x)\cdot {}_2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1-n}{2};\frac{3}{2};\cos^2(x)\right) +c $$ Pero lo que ignoro es el proceso que siguió WolframAlpha para obtener la integral de $x\sin^{n-1}(x)\cos(x)$ . ¿Qué pasos se dieron y dónde puedo ir para aprender estos pasos?

Answer 1

lo que ignoro es el proceso que siguió WolframAlpha para obtener la integral

Está bien, porque no hay nada útil ni espectacular en ese proceso. Básicamente, interpreta la función seno como $\sqrt{1-\cos^2x}$ y expande el integrando utilizando la serie binomial y luego cambia el orden de la suma y la integración, y repara toda la expresión en términos de funciones hipergeométricas . Pero esto es una mera cuestión de cambiar una notación por otra; no ayuda en absoluto a establecer resultados, relaciones e identidades significativas que impliquen a la integral inicial. Lo que sí es útil es entender el hecho de que todas las potencias naturales de las funciones seno y coseno pueden reescribirse como combinación lineal de términos de la forma $\sin kx$ y $\cos px$ cuya integración es entonces trivial.