Expansión en serie de Laurent de una función dada

Question

Dejemos que $\sum_{-\infty}^{\infty} a_n z^n$ sea la expansión en serie de Laurent de $f(z)=\frac{1}{2z^2-13z+15}$ en un anillo $\frac{3}{2}< \vert z \vert < 5$ .

¿Cuál es el valor de $\frac{a_1}{a_2}$ ?

Mi intento:

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $f$ es analítica en el anillo dado.

$f(z)=\frac{1}{2z^2-13z+15}=\frac{1}{(2z-3)(z-5)}$ ,

$\quad$ $\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$ $ = \frac { \frac {-2}{7}}{2z-3}+ \frac { \frac {1}{7}}{z-5}$ , por Fracción Parcial.

Cómo ir más allá para encontrar la función requerida en forma de serie de potencias y encontrar $\frac{a_1}{a_2}$ ?

Estoy confundido con el término que se puede tomar fuera de la expresión.

¿Alguna ayuda?

Answer 1

La función

\begin {align*} f(z)&= \frac {1}{2z^2-13z+15} \\ &=- \frac {1}{7} \cdot\frac {1}{z- \frac {3}{2}}+ \frac {1}{7} \cdot\frac {1}{z-5} \\ \end {align*} tiene dos polos simples en $\frac{3}{2}$ y $5$ .

Como queremos encontrar una expansión de Laurent con centro $0$ , miramos los polos $\frac{3}{2}$ y $5$ y ver que determinan tres regiones.

\begin |z|< \frac {3}{2}, \qquad\quad \frac {3}{2}<|z|<5, \qquad\quad 5<|z| \end {align*}

• La primera región $ |z|<\frac{3}{2}$ es un disco con centro $0$ , radio $\frac{3}{2}$ y el poste $\frac{3}{2}$ en el límite del disco. En el interior de este disco todas las dos fracciones con polos $\frac{3}{2}$ y $5$ admitir una representación como serie de potencia en $z=0$ .

• La segunda región $\frac{3}{2}<|z|<5$ es el anillo con centro $0$ , radio interior $\frac{3}{2}$ y el radio exterior $5$ . Aquí tenemos una representación de la fracción con polos $\frac{3}{2}$ como parte principal de una serie Laurent en $z=0$ mientras que la fracción con polo en $5$ admite una representación como serie de potencias.

• La tercera región $|z|>5$ que contiene todos los puntos fuera del disco con centro $0$ y el radio $5$ admite para todas las fracciones una representación como parte principal de una serie de Laurent en $z=0$ .

Una expansión en serie de potencias de $\frac{1}{z+a}$ en $z=0$ es \begin {align*} \frac {1}{z+a}&= \frac {1}{a} \cdot\frac {1}{1+ \frac {z}{a}} \\ &= \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {1}{a^{n+1}}(-z)^n \end {align*} La parte principal de $\frac{1}{z+a}$ en $z=0$ es \begin {align*} \frac {1}{z+a}&= \frac {1}{z} \cdot\frac {1}{1+ \frac {a}{z}}= \frac {1}{z} \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {a^n}{(-z)^n} =- \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {a^n}{(-z)^{n+1}} \\ &=- \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {a^{n-1}}{(-z)^n} \end {align*}

Ahora podemos obtener la expansión de Laurent de $f(z)$ en $z=0$ para las tres regiones. Aquí tenemos que considerar

• Región 2: $\frac{3}{2}<|z|<5$

Dado que sólo tenemos que calcular $\frac{a_1}{a_2}$ es suficiente con expandir la parte de la serie de la potencia solamente. Obtenemos

\begin {align*} f(z)&=- \frac {1}{7} \cdot\frac {1}{z- \frac {3}{2}}+ \frac {1}{7} \cdot\frac {1}{z-5} \\ &=- \frac {1}{7} \cdot\frac {1}{z- \frac {3}{2}}+ \frac {1}{7} \sum_ {n=0}^ \infty \frac {1}{(-5)^{n+1}}(-z)^n \\ &=- \frac {1}{7} \cdot\frac {1}{z- \frac {3}{2}}- \frac {1}{7} \sum_ {n=0}^ \infty \frac {1}{5^{n+1}}z^n \\ \end {align*}

Concluimos que $a_1=-\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{5^2}$ y $a_2=-\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{5^3}$ \begin {align*} \color {Azul}{ \frac {a_1}{a_2}=5} \end {align*}