En la lógica de primer orden con identidad, podemos definir una noción de "hay $N$ $x$ de tal manera que $Px$ "para cada número natural $N$ , utilizando cuantificadores e identidad. Pero en $ZFC$ teoría de conjuntos, hay otra forma de definir esa noción, a saber, " $\{x:Px\}$ es equinumérico con el número natural de Von-Neumann $N$ ". ¿Cómo se demuestra el metateorema de que estas dos nociones coinciden?
Respuesta
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Por ejemplo, con $N = 2$ la fórmula lógica es la siguiente $$ P_2(S) \equiv (\exists x)(\exists y)[x \not = y \land x \in S \land y \in S \land (\forall z)[z \in S \to z = x \lor z= y]]. $$
En el caso del ordinal de von Neumann $2 = \{0, 1\}$ podemos demostrar en ZFC que $0 \in 2$ , $1 \in 2$ y $(\forall z \in 2)[z = 0\lor z = 1]$ . Esto se debe a que $2$ se define como $1 \cup \{1\}$ , $1$ se define como $0 \cup \{0\}$ y $0$ se define como $\emptyset$ . Así que podemos demostrar $P_2(2)$ en ZFC.
Por último, podemos demostrar directamente en ZFC que si $P_2(S)$ se mantiene y si $S$ y $T$ tienen una biyección entre ellos entonces $P_2(T)$ también se mantiene.
El mismo tipo de prueba funciona para cualquier $N$ en lugar de $2$ . Como el número de cuantificadores en la fórmula lógica crece con $N$ tenemos que demostrarlo como un conjunto infinito de teoremas en ZFC, uno por cada $N$ .
